ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 442 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\
x + 2y = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x + 2y = 0, \quad x = -2y
\]

Первое уравнение:
Подставим \( x = -2y \):

\[
(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1
\]

\[
4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1
\]

\[
-y^2 = -1
\]

\[
y^2 = 1, \quad y = \pm 1
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = -2(1) = -2, \quad x_2 = -2(-1) = 2
\]

Ответ: \((-2; 1)\), \((2; -1)\).

б)
\[
\begin{cases}
u + 2v = 4 \\
u^2 + uv — v = -5
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
u = 4 — 2v
\]

Второе уравнение:
Подставим \( u = 4 — 2v \):
\[
(4 — 2v)^2 + (4 — 2v)v — v = -5
\]

\[
16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v = -5
\]

\[
2v^2 — 13v + 16 — 5 = 0
\]

\[
2v^2 — 13v + 21 = 0
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1
\]

\[
v_1 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3, \quad v_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5
\]

Найдем \( u \):

\[
u_1 = 4 — 2(3) = 4 — 6 = -2, \quad u_2 = 4 — 2(3.5) = 4 — 7 = -3
\]

-Ответ: \((-2; 3)\), \((-3; 3.5)\).

Задача a

Дана система уравнений:

1. \( x^2 + y^2 + 3xy = -1 \)
2. \( x + 2y = 0 \)

Решение

Из второго уравнения выразим \( x \):

\( x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y \)

Подставим \( x = -2y \) в первое уравнение:

\( (-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1 \)

\( 4y^2 + y^2 — 6y^2 = -1 \)

\( -y^2 = -1 \Rightarrow y^2 = 1 \)

Найдём \( y \):

\( y = \pm 1 \)

Найдём \( x \) для каждого значения \( y \):

Если \( y = 1 \): \( x = -2 \cdot 1 = -2 \)

Если \( y = -1 \): \( x = -2 \cdot (-1) = 2 \)

Ответ: (-2; 1), (2; -1)

Задача b

Дана система уравнений:

1. \( u + 2v = 4 \)
2. \( u^2 + uv — v = -5 \)

Решение

Из первого уравнения выразим \( u \):

\( u = 4 — 2v \)

Подставим \( u = 4 — 2v \) во второе уравнение:

\( (4 — 2v)^2 + v(4 — 2v) — v = -5 \)

\( 16 — 16v + 4v^2 + 4v — 2v^2 — v = -5 \)

\( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \)

Решим квадратное уравнение \( 2v^2 — 13v + 21 = 0 \):

Дискриминант: \( D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 — 168 = 1 \)

Корни:

\( v_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 — 1}{4} = 3 \)

\( v_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = 3.5 \)

Найдём \( u \) для каждого значения \( v \):

Если \( v = 3 \): \( u = 4 — 2 \cdot 3 = -2 \)

Если \( v = 3.5 \): \( u = 4 — 2 \cdot 3.5 = -3 \)

Ответ: (-2; 3), (-3; 3.5)