ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 441 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а)
Решение:
Ответ: (-3; -2), (3; 1)

б)
Решение:
Ответ: (3; -5), (5; -8)

Задача (а)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + xy — y^2 = 11 \\
x — 2y = 1
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( x \):

Из уравнения \( x — 2y = 1 \) получаем \( x = 2y + 1 \).

Шаг 2: Подставим \( x = 2y + 1 \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( x^2 + xy — y^2 = 11 \). Подставляем \( x = 2y + 1 \):

\( (2y + 1)^2 + y(2y + 1) — y^2 = 11 \)

Раскроем скобки:

\( 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y — y^2 = 11 \)

Упростим: \( 5y^2 + 5y — 10 = 0 \)

Шаг 3: Разделим на 5:

\( y^2 + y — 2 = 0 \)

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -2 \), \( y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \)

Шаг 5: Найдем значения \( x \):

Для \( y_1 = -2 \): \( x_1 = 2(-2) + 1 = -3 \)

Для \( y_2 = 1 \): \( x_2 = 2(1) + 1 = 3 \)

Ответ: \( (-3; -2), (3; 1) \)

Задача (б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + xy — 3y = 9 \\
3x + 2y = -1
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( 3x + 2y = -1 \) получаем \( y = \frac{-3x — 1}{2} \).

Шаг 2: Подставим \( y = \frac{-3x — 1}{2} \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( x^2 + xy — 3y = 9 \). Подставляем \( y = \frac{-3x — 1}{2} \):

\( x^2 + x\left( \frac{-3x — 1}{2} \right) — 3\left( \frac{-3x — 1}{2} \right) = 9 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 — \frac{3}{2}x^2 — \frac{1}{2}x + \frac{9}{2}x + \frac{3}{2} = 9 \)

Упростим: \( \frac{1}{2}x^2 — 4x + \frac{15}{2} = 0 \)

Шаг 3: Умножим на 2 для удобства:

\( x^2 — 8x + 15 = 0 \)

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{8 — \sqrt{4}}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = 5.5 \)

Шаг 5: Найдем значения \( y \):

Для \( x_1 = 3 \): \( y_1 = \frac{-3(3) — 1}{2} = -5 \)

Для \( x_2 = 5.5 \): \( y_2 = \frac{-3(5.5) — 1}{2} = -8 \)

Ответ: \( (3; -5), (5.5; -8) \)