ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 431 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пример (a):

Задача (a)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x — y = 3 \\
xy = -2
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \(y\):

Из уравнения \(x — y = 3\) получаем \(y = x — 3\).

Шаг 2: Подставим \(y = x — 3\) во второе уравнение:

Второе уравнение: \(xy = -2\). Подставляем \(y = x — 3\):

\( x(x — 3) = -2 \)

\( x^2 — 3x + 2 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \(x_1 = 1\): \( y = 1 — 3 = -2 \)

Для \(x_2 = 2\): \( y = 2 — 3 = -1 \)

Ответ: \( (1; -2), (2; -1) \)

Задача (б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 2.5 \\
xy = 1.5
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \(x + y = 2.5\) получаем \(y = 2.5 — x\).

Шаг 2: Подставим \( y = 2.5 — x \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \(xy = 1.5\). Подставляем \(y = 2.5 — x\):

\( x(2.5 — x) = 1.5 \)

\( x^2 — 2.5x + 1.5 = 0 \)

Умножим на 2 для удобства: \( 2x^2 — 5x + 3 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{5 — 1}{4} = 1 \), \( x_2 = \frac{5 + 1}{4} = 1.5 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \(x_1 = 1\): \( y = 2.5 — 1 = 1.5 \)

Для \(x_2 = 1.5\): \( y = 2.5 — 1.5 = 1 \)

Ответ: \( (1; 1.5), (1.5; 1) \)

Задача (в)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = -1 \\
x^2 + y^2 = 1
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( x + y = -1 \) получаем \( y = -x — 1 \).

Шаг 2: Подставим \( y = -x — 1 \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( x^2 + y^2 = 1 \). Подставляем \( y = -x — 1 \):

\( x^2 + (-x — 1)^2 = 1 \)

\( x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1 \)

\( 2x^2 + 2x = 0 \)

Вынесем общий множитель: \( 2x(x + 1) = 0 \)

Шаг 3: Найдем корни:

Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = -1 \): \( y = -(-1) — 1 = 0 \)

Для \( x_2 = 0 \): \( y = -(0) — 1 = -1 \)

Ответ: \( (-1; 0), (0; -1) \)

Задача (г)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
x^2 — y^2 = 17
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( x — y = 2 \) получаем \( y = x — 2 \).

Шаг 2: Подставим \( y = x — 2 \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( x^2 — y^2 = 17 \). Подставляем \( y = x — 2 \):

\( x^2 — (x — 2)^2 = 17 \)

\( x^2 — (x^2 — 4x + 4) = 17 \)

\( x^2 — x^2 + 4x — 4 = 17 \)

\( 4x = 21 \), следовательно, \( x = 5.25 \)

Шаг 3: Найдем \( y \):

\( y = 5.25 — 2 = 3.25 \)

Ответ: \( (5.25; 3.25) \)