Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 374 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каких значениях а сумма чисел а и 1/a в 3*1/4 раза меньше суммы их кубов?
Решить уравнение:
\[ \frac{3}{4} \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right) = a^3 + \frac{1}{a^3}; \]
1) Пусть \( y = a + \frac{1}{a} \), тогда:
\[
y^3 = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3 \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right);
\]
\[a^3 + \frac{1}{a^3} = y^3 — 3 \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right) = y^3 — 3y.\]
2) Подставим значение:
\[
\frac{13}{4} \cdot y = y^3 — 3y, \quad 4y^3 — 12y = 13y;
\]
\[4y^3 — 25y = 0, \quad y(4y^2 — 25) = 0;\]
\[(2y + 5) \cdot y \cdot (2y — 5) = 0;\]
\[y_1 = \frac{-5}{2}, \quad y_2 = 0, \quad y_3 = \frac{5}{2}.\]
3) Первое значение:
\[
a + \frac{1}{a} = \frac{-5}{2}, \quad a \notin \mathbb{R};
\]
4) Второе значение:
\[
a + \frac{1}{a} = 0, \quad a \notin \mathbb{R};
\]
5) Третье значение:
\[
a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}, \quad 2a^2 — 5a + 2 = 0;
\]
\[D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}\]
\[a_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2.\]
Ответ: \( a = \frac{1}{2}; \, a = 2 \).
Решить уравнение:
\frac{3}{4} \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right) = a^3 + \frac{1}{a^3};
\]
Шаг 1: Подстановка
Обозначим:
тогда:
y^3 = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3 \cdot \left( a + \frac{1}{a} \right);
\]
Следовательно:
a^3 + \frac{1}{a^3} = y^3 — 3 \cdot y.
\]
Шаг 2: Подстановка значения
Подставим это в исходное уравнение:
\frac{13}{4} \cdot y = y^3 — 3y.
\]
Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:
4y^3 — 12y = 13y.
\]
Перенесём всё в одну сторону:
4y^3 — 25y = 0.
\]
Вынесем \( y \) за скобки:
y(4y^2 — 25) = 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен:
(2y + 5)(2y — 5) = 0.
\]
Корни:
y_1 = \frac{-5}{2}, \quad y_2 = 0, \quad y_3 = \frac{5}{2}.
\]
Шаг 3: Решение для каждого значения \( y \)
Первый случай: \( y = \frac{-5}{2} \)
Подставляем в уравнение:
a + \frac{1}{a} = \frac{-5}{2}.
\]
Данное уравнение не имеет вещественных решений, так как дискриминант отрицательный.
Второй случай: \( y = 0 \)
Подставляем в уравнение:
a + \frac{1}{a} = 0.
\]
Это возможно, если \( a = \pm i \), что не является вещественным числом. Таким образом, решений нет.
Третий случай: \( y = \frac{5}{2} \)
Подставляем в уравнение:
a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}.
\]
Умножим на \( 2a \):
2a^2 — 5a + 2 = 0.
\]
Найдём дискриминант:
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\]
Корни:
a_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2.
\]
Ответ
Решения уравнения:
a = \frac{1}{2}, \quad a = 2.
\]
Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.