ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 372 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \left( \frac{x+1}{x-2} \right)^2 — 16 \left( \frac{x-2}{x+1} \right)^2 = 15 \);

б) \( \left( \frac{x+3}{x-5} \right)^2 — 9 \left( \frac{x-5}{x+3} \right)^2 = 8 \).

а)
\[
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 — 16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15
\]

Пусть \[ y = \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 \] тогда
\[
\frac{16}{y} — y = 15, \quad y^2 — 15y — 16 = 0
\]

\[
y_1 = \frac{15 — 17}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16
\]

Первое значение
\[
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 = -1, \quad x \notin \mathbb{R}
\]

Второе значение
\[
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16, \quad \frac{x+1}{x-2} = \pm 4
\]

1. \[ x+1 = 4(x-2) \quad x = 1,4 \]
2. \[ x+1 = -4(x-2)\quad x = 3 \]

Ответ
\[
1,4 \ 3
\]

б)
\[
\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 — 9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8
\]

Пусть \[ y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 \] тогда
\[
\frac{9}{y} — y = 8 \quad y^2 — 8y — 9 = 0
\]

Дискриминант
\[
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100 \text{ тогда}
\]

\[
y_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9
\]

Первое значение
\[
\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 = -1, \quad x \notin \mathbb{R}
\]

Второе значение
\[
\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9 \quad \frac{x+3}{x-5} = \pm 3
\]

1. \[ x+3 = 3(x-5), \quad x = 3 \]
2. \[ x+3 = -3(x-5), \quad x = 9 \]

Ответ:
\[
3; \ 9
\]

Задача (а)

\[
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 — 16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15
\]

Шаг 1: Пусть \[ y = \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 \] тогда
\[
\frac{16}{y} — y = 15
\]

Шаг 2: Преобразуем уравнение:
\[
y^2 — 15y — 16 = 0
\]

Шаг 3: Вычисляем дискриминант
\[
D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289
\]

Шаг 4: Находим корни:
\[
y_1 = \frac{15 — 17}{2} = -1 \quad y_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16
\]

Шаг 5: Рассматриваем значения

Если \[ y = -1 \] то решения нет, так как \[ y \geq 0. \]

Если \[ y = 16 \] то:
\[
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16, \quad \frac{x+1}{x-2} = \pm 4.
\]

При \[ \frac{x+1}{x-2} = 4 \]
\[
x+1 = 4(x-2), \quad x = 1.4
\]

При \[ \frac{x+1}{x-2} = -4 \]
\[
x+1 = -4(x-2), \quad x = 3
\]

Ответ: 1.4; 3

Задача (б)

\[
\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 — 9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8
\]

Шаг 1: Пусть \[ y = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 \] тогда
\[
\frac{9}{y} — y = 8
\]

Шаг 2: Преобразуем уравнение
\[
y^2 — 8y — 9 = 0
\]

Шаг 3: Вычисляем дискриминант
\[
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100
\]

Шаг 4: Находим корни
\[
y_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9
\]

Шаг 5: Рассматриваем значения

Если \[ y = -1 \] то решения нет, так как \[ y \geq 0. \]

Если \[ y = 9 \] то
\[
\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9\quad \frac{x+3}{x-5} = \pm 3.
\]

При \[ \frac{x+3}{x-5} = 3 \]
\[
x+3 = 3(x-5), \quad x = 3
\]

При \[ \frac{x+3}{x-5} = -3 \]
\[
x+3 = -3(x-5) \quad x = 9
\]

Ответ: 3; 9