ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 293 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \( \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x — 10} — \frac{1}{x — 9} \);

б) \( \frac{1}{x + 3} — \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 5} — \frac{1}{x + 21} \).

(а)

\[
\frac{1}{x-7} — \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} — \frac{1}{x-9}
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x-1-x+7}{(x-7)(x-1)} = \frac{x-9-x+10}{(x-10)(x-9)}
\]

Раскрытие скобок и упрощение:
\[
\frac{6}{x^2 — 8x + 7} = \frac{1}{x^2 — 19x + 90}
\]

Дальнейшее преобразование:
\[
6x^2 — 114x + 540 = x^2 — 8x + 7
\]

\[
5x^2 — 106x + 533 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 106^2 — 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 — 10660 = 576
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{106 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2, \quad x_2 = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13
\]

Область определения:
\[
x \neq 7, \quad x \neq 1, \quad x \neq 10, \quad x \neq 9
\]

Ответ: \(x = 8.2; x = 13\).

(б)

\[
\frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} — \frac{1}{x+21}
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x+9-x-3}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+21-x-5}{(x+5)(x+21)}
\]

Раскрытие скобок и упрощение:
\[
\frac{6}{x^2 + 12x + 27} = \frac{16}{x^2 + 26x + 105}
\]

Дальнейшее преобразование:
\[
3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216
\]

\[
5x^2 + 18x — 99 = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 18^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{-18 — 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6, \quad x_2 = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3
\]

Область определения:
\[
x \neq -3, \quad x \neq -9, \quad x \neq -5, \quad x \neq -21
\]

Ответ: \(x = -6.6; x = 3\).

Задача (а)

Уравнение: \( \frac{1}{x-7} — \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} — \frac{1}{x-9} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\( \frac{x-1-x+7}{(x-7)(x-1)} = \frac{x-9-x+10}{(x-10)(x-9)} \)

Шаг 2: Раскрытие скобок и упрощение:

После раскрытия скобок и упрощения, получаем:

\( \frac{6}{x^2 — 8x + 7} = \frac{1}{x^2 — 19x + 90} \)

Шаг 3: Дальнейшее преобразование:

Перемножаем обе стороны уравнения:

\( 6(x^2 — 19x + 90) = x^2 — 8x + 7 \)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\( 6x^2 — 114x + 540 = x^2 — 8x + 7 \)

Переносим все на одну сторону:

\( 5x^2 — 106x + 533 = 0 \)

Шаг 4: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 5x^2 — 106x + 533 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-106)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 533 = 11236 — 10660 = 576 \)

Шаг 5: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{106 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{82}{10} = 8.2 \),

\( x_2 = \frac{106 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13 \)

Шаг 6: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 7 \), \( x \neq 1 \), \( x \neq 10 \), \( x \neq 9 \).

Ответ: \( x = 8.2; 13 \)

Задача (б)

Уравнение: \( \frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} — \frac{1}{x+21} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\( \frac{x+9-x-3}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+21-x-5}{(x+5)(x+21)} \)

Шаг 2: Раскрытие скобок и упрощение:

После раскрытия скобок и упрощения, получаем:

\( \frac{6}{x^2 + 12x + 27} = \frac{16}{x^2 + 26x + 105} \)

Шаг 3: Дальнейшее преобразование:

Перемножаем обе стороны уравнения:

\( 3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216 \)

Упрощаем уравнение:

\( 5x^2 + 18x — 99 = 0 \)

Шаг 4: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 5x^2 + 18x — 99 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = 18^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304 \)

Шаг 5: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{-18 — 48}{2 \cdot 5} = \frac{-66}{10} = -6.6 \),

\( x_2 = \frac{-18 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 \)

Шаг 6: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -3 \), \( x \neq -9 \), \( x \neq -5 \), \( x \neq -21 \).

Ответ: \( x = -6.6; 3 \)