ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 270 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 513 см3. Чему равно ребро куба?

Краткий ответ:

Пусть ребро равно \( x \) см:

\[ (x + 3)^3 = x^3 + 513; \]

\[ x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = x^3 + 513; \]

\[ 9x^2 + 27x — 486 = 0, \quad x^2 + 3x — 54 = 0; \]

\[ D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225, \text{тогда:} \]

\[ x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6; \]

Ответ: \( 6 \) см.

Подробный ответ:

Пусть ребро куба равно x см. Тогда объем увеличенного куба выражается как:

\[(x + 3)^3 = x^3 + 513.\]

Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27.\]
Подставим это в уравнение:
\[x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = x^3 + 513.\]

Упростим уравнение, сократив \(x^3\) по обе стороны:
\[9x^2 + 27x + 27 — 513 = 0,\]
\[9x^2 + 27x — 486 = 0.\]
Разделим обе стороны на 9, чтобы упростить коэффициенты:
\[x^2 + 3x — 54 = 0.\]

Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\[D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225.\]

Вычислим корни уравнения по формуле:
\[x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставим значения:
\[x_{1, 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2}.\]
Найдем оба корня:
\[x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9,\]
\[x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6.\]

Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, принимаем \(x_2 = 6\) см.

Ответ: 6 см.

Оцени решение