ГДЗ Макарычев 9 Класс по Алгебре Учебник 📕 Миндюк, Нешков — Все Части

Алгебра

9 класс учебник Макарычев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

Год

2019-2024.

Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 65 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

а) $x^{2} - 10 x + 10$

б) $x^{2} + 3 x - 1$

в) $3 x^{2} + 6 x - 3$ г) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 2$

Краткий ответ:

Выделить квадрат двучлена:

а) $x^{2} - 10 x + 10 = x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2} - 5^{2} + 10 =$
$= (x^{2} - 10 x + 25) - 25 + 10 = (x - 5)^{2} - 15;$

б) $x^{2} + 3 x - 1 = x^{2} + 2 x \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} - 1 =$
$= (x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1 = {(x + 1 \frac{1}{2})}^{2} - 3 \frac{1}{4};$

в) $3 x^{2} + 6 x - 3 = 3 (x^{2} + 2 x - 1) =$
$= 3 (x^{2} + 2 x + 1) + 3 \cdot (- 1 - 1) =$
$= 3 (x + 1)^{2} - 2 \cdot 3 = 3 (x + 1)^{2} - 6;$

г) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 2 = \frac{1}{4} (x^{2} - 4 x + 8) =$
$= \frac{1}{4} (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{1}{4} (8 - 4) =$
$= \frac{1}{4} (x - 2)^{2} + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{(x - 2)^{2}}{4} + 1$

Подробный ответ:

а) $x^{2} - 10 x + 10$

Здесь старший коэффициент уже равен 1.
Половина коэффициента при $x$ : $- 10 / 2 = - 5$ . Квадрат этой половины: $(- 5)^{2} = 25$ .

Добавим и вычтем 25:

$x^{2} - 10 x + 10 = (x^{2} - 10 x + 25) - 25 + 10.$

Первые три слагаемых — полный квадрат:

$x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2} .$

Итог:

$x^{2} - 10 x + 10 = (x - 5)^{2} - 15 .$

Проверка раскрытием: $(x - 5)^{2} - 15 = (x^{2} - 10 x + 25) - 15 = x^{2} - 10 x + 10$ .

б) $x^{2} + 3 x - 1$

Старший коэффициент 1.
Половина коэффициента при $x$ : $3 / 2$ . Квадрат: $(3 / 2)^{2} = 9 / 4$ .

Добавим и вычтем $9 / 4$ :

$x^{2} + 3 x - 1 = (x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1.$

Полный квадрат:

$x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^{2} = (x + 1 \frac{1}{2})^{2} .$

Собираем константы:

$- \frac{9}{4} - 1 = - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = - \frac{13}{4} = - 3 \frac{1}{4} .$

Итог:

$x^{2} + 3 x - 1 = (x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{13}{4} = (x + 1 \frac{1}{2})^{2} - 3 \frac{1}{4} .$

Проверка: $(x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{13}{4} = x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} - \frac{13}{4} = x^{2} + 3 x - 1$ .

в) $3 x^{2} + 6 x - 3$

Сначала делаем старший коэффициент внутри скобок равным 1 — вынесем 3:

$3 x^{2} + 6 x - 3 = 3 (x^{2} + 2 x - 1) .$

Теперь работаем внутри скобок: половина от 2 — $1$ , квадрат — $1^{2} = 1$ .

Добавим и вычтем 1 внутри:

$x^{2} + 2 x - 1 = (x^{2} + 2 x + 1) - 1 - 1.$

Собираем квадрат:

$x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}, а - 1 - 1 = - 2.$

Возвращаем внешний множитель 3:

$3 (x^{2} + 2 x - 1) = 3 ((x + 1)^{2} - 2) = 3 (x + 1)^{2} - 6.$

Итог:

$3 x^{2} + 6 x - 3 = 3 (x + 1)^{2} - 6 .$

Быстрая проверка: $3 (x + 1)^{2} - 6 = 3 (x^{2} + 2 x + 1) - 6 = 3 x^{2} + 6 x + 3 - 6 = 3 x^{2} + 6 x - 3$ .

г) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 2$

Сделаем коэффициент при $x^{2}$ внутри скобок равным 1 — вынесем $\frac{1}{4}$ из всех трёх слагаемых:

$\frac{1}{4} x^{2} - x + 2 = \frac{1}{4} (x^{2} - 4 x + 8) .$

Теперь внутри скобок половина от $- 4$ равна $- 2$ , квадрат — $4$ .

Добавим и вычтем 4 внутри:

$x^{2} - 4 x + 8 = (x^{2} - 4 x + 4) + (8 - 4) .$

Первое — полный квадрат:

$x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}, 8 - 4 = 4.$

Возвращаем множитель $\frac{1}{4}$ :

$\frac{1}{4} ((x - 2)^{2} + 4) = \frac{(x - 2)^{2}}{4} + 1.$

Итог:

$\frac{1}{4} x^{2} - x + 2 = \frac{(x - 2)^{2}}{4} + 1 .$

Ответы:

а) $(x - 5)^{2} - 15$

б) $(x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{13}{4}$

в) $3 (x + 1)^{2} - 6$

г) $\frac{(x - 2)^{2}}{4} + 1$

Оцени решение