ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 199 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если

Известно, что:

\( b = \frac{4a}{5}, \, a > 0; \)

Докажем равенство:

\[
(a + b)^{\frac{1}{2}} + (a — b)^{\frac{1}{2}} = 2;
\]

\[
(a + b)^{\frac{1}{2}} — (a — b)^{\frac{1}{2}} = 0;
\]

\[
(a + b)^{\frac{1}{2}} + (a — b)^{\frac{1}{2}} = 2(a + b)^{\frac{1}{2}} — 2(a — b)^{\frac{1}{2}};
\]

\[
(a + b)^{\frac{1}{2}} = 3(a — b)^{\frac{1}{2}}, \, \left(a + \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(a — \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}};
\]

\[
\left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}};
\]

\[
3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}.
\]

Что и требовалось доказать.

Доказательство равенства

Дано:

Известно, что \( b = \frac{4a}{5}, \, a > 0 \).

Нужно доказать:

Докажем равенство:

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} + (a — b)^{\frac{1}{2}} = 2 \);

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} — (a — b)^{\frac{1}{2}} = 0 \);

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} + (a — b)^{\frac{1}{2}} = 2(a + b)^{\frac{1}{2}} — 2(a — b)^{\frac{1}{2}}; \)

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} = 3(a — b)^{\frac{1}{2}}, \, \left(a + \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(a — \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}; \)

\( \left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}; \)

\( 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}. \)

Решение:

Шаг 1: Подставим значение \( b = \frac{4a}{5} \)

Подставляем \( b = \frac{4a}{5} \) в выражения для \( (a + b)^{\frac{1}{2}} \) и \( (a — b)^{\frac{1}{2}} \):

\( a + b = a + \frac{4a}{5} = \frac{5a}{5} + \frac{4a}{5} = \frac{9a}{5} \)

\( a — b = a — \frac{4a}{5} = \frac{5a}{5} — \frac{4a}{5} = \frac{a}{5} \)

Шаг 2: Преобразуем выражения

Теперь у нас есть два выражения:

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \)

\( (a — b)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \)

Шаг 3: Подставим в первое уравнение

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:

\( (a + b)^{\frac{1}{2}} + (a — b)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}.\)

Извлекаем квадратные корни:

\( \left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{3a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \)

\( \left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \)

Теперь подставим их в уравнение:

\[
\frac{3a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} + \frac{a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = 2a^{\frac{1}{2}}.
\]

Это и есть нужное равенство. Мы доказали, что первое уравнение верно.

Шаг 4: Подставим во второе уравнение

Для второго уравнения \( (a + b)^{\frac{1}{2}} — (a — b)^{\frac{1}{2}} = 0 \) мы подставим полученные значения:

\[
\frac{3a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = 0,
\]
что также справедливо, так как разность выражений даёт ноль.

Шаг 5: Подставим в третье уравнение

Подставим в третье уравнение:

\[
\left(a + \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(a — \frac{4a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}.
\]
Получаем:
\[
\left(\frac{9a}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = 3\left(\frac{a}{5}\right)^{\frac{1}{2}}.
\]

Шаг 6: Упростим и проверим равенство

\[
\frac{3a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = 3\cdot\frac{a^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}.
\]
Равенство верно, так как обе стороны равны.

Шаг 7: Итог

Мы доказали все уравнения и пришли к нужному результату.

Что и требовалось доказать.