ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1596 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения

\[
x^3 — 3x
\]

при \[ x = \left( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{1/3}.\]

Известно следующее:

\( x = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}}; \)

Пусть \( a = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} \) и \( b = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}} \), тогда:

\( ab = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1; \)

\( a^3 + b^3 = \frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} — 1}{2 — 1} = 2\sqrt{2}; \)

\( x^3 — 3x = (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 — 3(a + b); \)

\( x^3 — 3x = (a^3 + b^3) + 3ab(a + b) — 3(a + b) = 2\sqrt{2}; \)

Ответ: \( 2\sqrt{2}. \)

Задача: Найдите значение выражения

\[
x^3 — 3x
\]

при \( x = \left( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^{1/3}.

Решение:

Обозначим:

\( x = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}}.
\)

Пусть \( a = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} \) и \( b = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}} \), тогда:

\( x = a + b.
\)

Теперь посчитаем произведение \( ab \):

\( ab = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} — 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} + 1}.
\)

Используем формулу для разности квадратов:

\( ab = \frac{1}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2 — 1} = 1.
\)

Теперь вычислим сумму кубов \( a^3 + b^3 \). Для этого используем следующую формулу для суммы кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)((a + b)^2 — 3ab).
\)

Вставляем известные значения для \( a + b \) и \( ab \):

\( a^3 + b^3 = \frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}.
\)

Приведем эти дроби к общему знаменателю:

\( a^3 + b^3 = \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} — 1}{2 — 1} = 2\sqrt{2}.
\)

Теперь нам нужно вычислить \( x^3 — 3x \), используя формулу для куба суммы:

\( x^3 — 3x = (a + b)^3 — 3(a + b).
\)

Раскроем куб и упростим:

\( x^3 — 3x = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) — 3(a + b).
\)

Подставляем найденные значения \( a^3 + b^3 = 2\sqrt{2} \) и \( ab = 1 \), а также \( a + b = x \):

\( x^3 — 3x = 2\sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot (a + b) — 3(a + b).
\)

Видим, что последние два слагаемых сокращаются, и остаётся:

\( x^3 — 3x = 2\sqrt{2}.
\)

Ответ:

Значение выражения равно:

\( 2\sqrt{2}.
\)