ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1575 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\[
x^2 + 2\sqrt{3}x + y — 4\sqrt{y} + 7 = 0.
\]

Решить уравнение:

\( x^2 + 2\sqrt{3}x + y — 4\sqrt{y} + 7 = 0; \)

\( x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 + y — 4\sqrt{y} + 4 = 0; \)

\( (x + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{y} — 2)^2 = 0; \)

\( x = -\sqrt{3}, \quad y = 2^2 = 4; \)

Ответ: \((- \sqrt{3}; 4)\).

Задача

Решите уравнение:

\[
x^2 + 2\sqrt{3}x + y — 4\sqrt{y} + 7 = 0.
\]

Ответ

Шаг 1: Изменим исходное уравнение так, чтобы выделить части, которые можно упростить. Начнем с того, что сгруппируем все слагаемые, связанные с \( x \) и \( y \):

\[
x^2 + 2\sqrt{3}x + y — 4\sqrt{y} + 7 = 0
\]

Шаг 2: Рассмотрим часть уравнения, содержащую \( x \): \( x^2 + 2\sqrt{3}x \). Это выражение можно преобразовать в полный квадрат. Для этого добавим и вычтем \( (\sqrt{3})^2 = 3 \):

\[
x^2 + 2\sqrt{3}x = (x + \sqrt{3})^2 — 3
\]

Шаг 3: Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[
(x + \sqrt{3})^2 — 3 + y — 4\sqrt{y} + 7 = 0
\]

Упростим уравнение:

\[
(x + \sqrt{3})^2 + y — 4\sqrt{y} + 4 = 0
\]

Шаг 4: Теперь рассмотрим выражение \( y — 4\sqrt{y} \). Полагаем, что \( \sqrt{y} = z \), тогда \( y = z^2 \), и уравнение примет вид:

\[
(x + \sqrt{3})^2 + z^2 — 4z + 4 = 0
\]

Шаг 5: Преобразуем выражение для \( z \). Рассмотрим его как полное квадратное выражение:

\[
z^2 — 4z + 4 = (z — 2)^2
\]

Теперь у нас получается следующее уравнение:

\[
(x + \sqrt{3})^2 + (z — 2)^2 = 0
\]

Шаг 6: Поскольку сумма двух квадратов равна нулю, каждый из квадратов должен быть равен нулю. Таким образом, получаем систему:

\[
x + \sqrt{3} = 0 \quad \text{и} \quad z — 2 = 0
\]

Решаем эту систему:

\[
x = -\sqrt{3}, \quad z = 2
\]

Шаг 7: Напоминаем, что \( z = \sqrt{y} \), значит \( \sqrt{y} = 2 \), откуда \( y = 4 \).

Ответ: Пара чисел \( (x, y) = (-\sqrt{3}, 4) \).