ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1543 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), если \( \tan(\alpha) = \frac{4}{3} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Известно следующее:

\( \tan a = \frac{4}{3}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}; \)

1) Значение косинуса:

\( \cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{9}{25}; \)

\( \cos a = -\sqrt{\cos^2 a} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}; \)

2) Значения половинных углов:

\( \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}; \)

\( \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{3}{5}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}; \)

\( \tan \frac{a}{2} = \sin \frac{a}{2} : \cos \frac{a}{2} = 2; \)

Ответ: \( \frac{2\sqrt{5}}{5}; \frac{\sqrt{5}}{5}; 2. \)

Задача

Найдите \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), если \( \tan(\alpha) = \frac{4}{3} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Ответ

Известно следующее:

\[
\tan a = \frac{4}{3}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2};
\]

1) Найдем значение косинуса:

Для начала используем тождество для косинуса через тангенс:

\[
\cos^2 a = \frac{1}{1 + \tan^2 a}
\]

Подставляем \( \tan a = \frac{4}{3} \):

\[
\cos^2 a = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{1}{\frac{25}{9}} = \frac{9}{25}
\]

Теперь находим \( \cos a \):

\[
\cos a = -\sqrt{\cos^2 a} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}
\]

Знак минус выбираем, так как \( \alpha \) лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен.

2) Значения половинных углов:

Для вычисления половинных углов используем формулы:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}}, \quad \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}}
\]

Подставляем \( \cos a = -\frac{3}{5} \):

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} =\]

\[\sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
\]

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{3}{5}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{3}{5}}{2}} =\]

\[\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
\]

3) Найдем \( \tan\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2
\]

Ответ:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \tan\left(\frac{a}{2}\right) = 2
\]