ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1523 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Докажите, что произведение всех выражений вида \( \tan(n^\circ) \), где \( n \) — натуральное число, меньшее 90, равно 1.

Доказательство:

Рассмотрим произведение всех тангенсов углов от \( 1^\circ \) до \( 89^\circ \):

\[
P = \tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot \tan(3^\circ) \cdot \dots \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \dots \cdot \tan(89^\circ)
\]

Наша цель — доказать, что это произведение равно 1. Чтобы это сделать, заметим, что для каждого угла \( \theta \), существует угол, дополняющий его до \( 90^\circ \), так что:

\[
\tan(90^\circ — \theta) = \cot(\theta)
\]
То есть, \( \tan(89^\circ) = \cot(1^\circ), \tan(88^\circ) = \cot(2^\circ), \dots, \tan(46^\circ) = \cot(44^\circ) \).

Шаг 1: Перепишем произведение, группируя тангенсы и котангенсы:

\[
P = \tan(1^\circ) \cdot \tan(89^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot \tan(88^\circ) \cdot\]

\[\tan(3^\circ) \cdot \tan(87^\circ) \cdot \dots \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(46^\circ) \cdot \tan(45^\circ)
\]

Шаг 2: Каждая пара вида \( \tan(\theta) \cdot \tan(90^\circ — \theta) \) даёт 1, так как:

\[
\tan(\theta) \cdot \cot(\theta) = \tan(\theta) \cdot \frac{1}{\tan(\theta)} = 1
\]
Поэтому мы можем заменить все такие пары на единицу:
\[
P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot \tan(45^\circ)
\]

Шаг 3: Оставшийся множитель — это \( \tan(45^\circ) \), который равен 1, так как \( \tan(45^\circ) = 1 \). Таким образом, произведение всего выражения равно:

\[
P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot 1 = 1
\]

Ответ: Произведение всех тангенсов углов от \( 1^\circ \) до \( 89^\circ \) равно \( {1} \).