ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1511 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) \( \sin(x) = -\sin(23^\circ), \quad x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \)

Дано: функция синуса, значение отрицательное — значит, угол должен находиться в III или IV четверти, где синус отрицателен.

Угол \( 23^\circ \) — острый, и \( \sin(23^\circ) > 0 \). Следовательно, чтобы получить \( -\sin(23^\circ) \), нужно взять угол в III или IV четверти, симметричный относительно оси \( x = 180^\circ \):

Поскольку \( x \in \left(180^\circ; 270^\circ\right) \), т.е. в III четверти, тогда:

\( x = 180^\circ + 23^\circ = 203^\circ \)

Ответ: \( 203^\circ \)

б) \( \cos(x) = -\cos(85^\circ), \quad x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \)

Косинус положителен в I и IV четвертях, а отрицателен во II и III четвертях.

Число \( \cos(85^\circ) \) положительное, значит, чтобы получить отрицательное значение \( -\cos(85^\circ) \), нужно найти угол с отрицательным косинусом и таким же абсолютным значением. Это реализуется при симметрии относительно оси \( x = 90^\circ \):

\( x = 180^\circ — 85^\circ = 95^\circ \)

Проверка: \( 95^\circ \in (90^\circ; 180^\circ) \Rightarrow \) находится во II четверти, где косинус действительно отрицателен.

Ответ: \( 95^\circ \)

в) \( \tan(x) = \tan(40^\circ), \quad x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right) \)

Тангенс периодическая функция с периодом \( \pi \). Чтобы найти эквивалент углу \( 40^\circ \) в промежутке от \( -180^\circ \) до \( -90^\circ \), необходимо вычесть период \( \pi \) (то есть \( 180^\circ \)):

\( x = 40^\circ — 180^\circ = -140^\circ \)

Проверка: \( -140^\circ \in (-180^\circ; -90^\circ) \Rightarrow \) находится в III четверти (в отрицательном направлении), где тангенс сохраняет знак и значение.

Ответ: \( -140^\circ \)

г) \( \cot(x) = -\cot(10^\circ), \quad x \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \)

Котангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \). Угол \( 10^\circ \) даёт положительное значение, поэтому отрицательное значение достигается в III и IV четвертях.

Нам нужен угол в IV четверти: симметричный угол — это:

\( x = 360^\circ — 10^\circ = 350^\circ \)

Проверка: \( 350^\circ \in (270^\circ; 360^\circ) \Rightarrow \) принадлежит IV четверти, где котангенс действительно отрицателен.

Ответ: \( 350^\circ \)