ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1508 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте в промежутке \( [-2\pi; 2\pi] \) график функции:

а) \( y = \cos(x) \);

б) \( y = \cot(x) \).

Постройте в промежутке \( [-2\pi; 2\pi] \) график функции:

а) \( y = \cos x, \quad x \in [-2\pi; 2\pi]; \)

б) \( y = \cot x, \quad x \in [-2\pi; 2\pi]; \)

а) График функции \( y = \cos(x) \) на промежутке \( [-2\pi; 2\pi] \)

Косинус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), принимает значения в диапазоне от -1 до 1. В точках \( x = 0, \pm 2\pi \), функция достигает максимума 1; в точках \( x = \pm \pi \) — минимума -1. Нули функции: \( x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, 0 \).

Основные особенности графика:

• Вершины максимумов: \( x = -2\pi, 0, 2\pi \), \( y = 1 \)
• Вершины минимумов: \( x = -\pi, \pi \), \( y = -1 \)
• Нули: \( x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \), \( y = 0 \)
• График симметричен относительно оси \( y \)

б) График функции \( y = \cot(x) \) на промежутке \( [-2\pi; 2\pi] \)

Котангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \). Она не определена в точках \( x = k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \) (синус в этих точках равен нулю, а значит, котангенс не существует). График стремится к бесконечности в окрестностях разрывов и пересекает ось абсцисс в точках \( x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2} \), где \( \cot(x) = 0 \).

Основные особенности графика:

• Разрывы в \( x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi \)
• Нули: \( x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \)
• Между разрывами график убывает от \( +\infty \) до \( -\infty \)

На каждом участке между вертикальными асимптотами котангенс ведёт себя одинаково: убывает слева направо, переходя от больших положительных значений через ноль к большим отрицательным.