ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1506 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Углом какой четверти является угол \( \alpha \), если:

а) \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) > 0 \);

б) \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) < 0 \);

в) \( \cos(\alpha)\tan(\alpha) > 0 \);

г) \( \tan(\alpha)\sin(\alpha) < 0 \);

д) \( \cot(\alpha)\cos(\alpha) > 0 \);

е) \( \sin(\alpha)\cot(\alpha) < 0 \)?

Какой четверти принадлежит:

а) \( \sin a \cos a > 0; \)

Ответ: в I и III четвертях.

б) \( \sin a \cos a < 0; \)

Ответ: во II и IV четвертях.

в) \( \cos a \tan a > 0; \)

\( \sin a > 0; \)

Ответ: в I и II четвертях.

г) \( \tan a \sin a < 0; \)

\( \cos a < 0; \)

Ответ: во II и III четвертях.

д) \( \cot a \cos a > 0; \)

\( \sin a > 0; \)

Ответ: в I и II четвертях.

e) \( \sin a \cot a < 0; \)

\( \cos a < 0; \)

Ответ: во II и III четвертях.

а) \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) > 0 \)

Рассмотрим отдельно знаки синуса и косинуса в каждой из четырёх четвертей единичной окружности:

I четверть: \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \). \( \sin(\alpha) > 0 \), \( \cos(\alpha) > 0 \). Произведение положительных чисел положительно (\( + \cdot + = + \)).

II четверть: \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). \( \sin(\alpha) > 0 \), \( \cos(\alpha) < 0 \). Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно (\( + \cdot — = — \)).

III четверть: \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \). \( \sin(\alpha) < 0 \), \( \cos(\alpha) < 0 \). Произведение отрицательных чисел положительно (\( — \cdot — = + \)).

IV четверть: \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \). \( \sin(\alpha) < 0 \), \( \cos(\alpha) > 0 \). Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно (\( — \cdot + = — \)).

Значит, условие \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) > 0 \) выполняется только в I и III четвертях.

б) \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) < 0 \)

Произведение синуса и косинуса отрицательно, когда один из них положителен, а другой отрицателен:

I четверть: \( + \cdot + = + \).

II четверть: \( + \cdot — = — \).

III четверть: \( — \cdot — = + \).

IV четверть: \( — \cdot + = — \).

Только во II и IV четвертях произведение отрицательно.

в) \( \cos(\alpha)\tan(\alpha) > 0 \)

Вспомним: \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \), значит, \( \cos(\alpha)\tan(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha) \) (если \( \cos(\alpha) \neq 0 \)).

Условие \( \cos(\alpha)\tan(\alpha) > 0 \) становится \( \sin(\alpha) > 0 \).

I четверть: \( \sin(\alpha) > 0 \)

II четверть: \( \sin(\alpha) > 0 \)

III и IV четверти: \( \sin(\alpha) < 0 \)

Следовательно, искомое условие выполняется только в I и II четвертях.

г) \( \tan(\alpha)\sin(\alpha) < 0 \)

\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \). Тогда произведение \( \tan(\alpha)\sin(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} \).

Квадрат синуса всегда неотрицателен (\( \sin^2(\alpha) \geq 0 \)), так что знак выражения определяется только знаком \( \cos(\alpha) \):

Если \( \cos(\alpha) > 0 \), дробь положительна.

Если \( \cos(\alpha) < 0 \), дробь отрицательна.

Требуется, чтобы произведение было меньше нуля, значит, \( \cos(\alpha) < 0 \).

II четверть: \( \cos(\alpha) < 0 \)

III четверть: \( \cos(\alpha) < 0 \)

Следовательно, условие выполняется только во II и III четвертях.

д) \( \cot(\alpha)\cos(\alpha) > 0 \)

\( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \), значит, \( \cot(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} \).

Квадрат косинуса всегда неотрицателен (\( \cos^2(\alpha) \geq 0 \)), а знак дроби определяется знаком \( \sin(\alpha) \):

Если \( \sin(\alpha) > 0 \), дробь положительна.

Если \( \sin(\alpha) < 0 \), дробь отрицательна.

Нужно, чтобы произведение было больше нуля, значит, \( \sin(\alpha) > 0 \).

I четверть: \( \sin(\alpha) > 0 \)

II четверть: \( \sin(\alpha) > 0 \)

Итак, условие выполняется только в I и II четвертях.

е) \( \sin(\alpha)\cot(\alpha) < 0 \)

\( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \), значит, \( \sin(\alpha)\cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \). При \( \sin(\alpha) \neq 0 \), выражение сокращается до \( \cos(\alpha) \).

Требуется, чтобы выражение было отрицательно, значит \( \cos(\alpha) < 0 \).

II четверть: \( \cos(\alpha) < 0 \)

III четверть: \( \cos(\alpha) < 0 \)

Следовательно, условие выполняется только во II и III четвертях.

Результаты по каждой позиции:

а) I и III четверти

б) II и IV четверти

в) I и II четверти

г) II и III четверти

д) I и II четверти

е) II и III четверти