ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1493 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin^3\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \);

б) \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos(\pi) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \);

в) \( \sin(60^\circ) \cdot \cos(30^\circ) + \tan(30^\circ) \);

г) \( \tan(60^\circ) — 4 \cdot \cos(45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \).

Найти значение выражения:

а) \( \cos \frac{\pi}{3} \sin^3 \frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 1^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}; \)

б) \( \tan \frac{\pi}{3} \cos \pi \sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}; \)

в) \( \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12}; \)

г) \( \tan 60^\circ — 4 \cos 45^\circ \sin 45^\circ = \sqrt{3} — 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} — 2; \)

а) \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin^3\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \)

Рассмотрим вычисление каждого множителя отдельно и подробно:

1) \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) — это косинус угла в 60°. По единичной окружности, \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

2) \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \) — это синус 90°, его значение всегда 1. Следовательно, \( \sin^3\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1)^3 = 1 \).

3) \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \) — тангенс 30°. По определению, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Рационализируем знаменатель: \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Теперь перемножим полученные значения:

\( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{6} \)

б) \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos(\pi) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \)

Рассмотрим отдельно каждое значение:

1) \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \) — это тангенс 60°, по формуле: \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).

2) \( \cos(\pi) \) — это косинус 180°, на единичной окружности: \( \cos 180^\circ = -1 \).

3) \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \) — это синус 45°. По таблице значений: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь перемножим:

\( \sqrt{3} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} \)

\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \), поэтому:

\( -\frac{\sqrt{6}}{2} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{2} \)

в) \( \sin(60^\circ) \cdot \cos(30^\circ) + \tan(30^\circ) \)

Вычислим значения тригонометрических функций:

1) \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

2) \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

3) \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) (рационализируем знаменатель)

Выполним перемножение синуса и косинуса:

\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \)

Теперь сложим полученное произведение с тангенсом:

\( \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12:

\( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{12} \)

Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:

\( \frac{9}{12} + \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12} \)

Ответ: \( \frac{9 + 4\sqrt{3}}{12} \)

г) \( \tan(60^\circ) — 4 \cdot \cos(45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \)

Рассмотрим поэтапно:

1) \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \)

2) \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

3) \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Перемножим значения для второго слагаемого:

\( 4 \cdot \cos(45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \)

Теперь вычтем полученное число из первого значения:

\( \sqrt{3} — 2 \)

Ответ: \( \sqrt{3} — 2 \)