ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1491 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Покажите штриховкой в координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а)
\[
\begin{cases}
y — \cos(x) \geq 0, \\
y + x^2 \geq 3;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
y \leq 2\sin(x), \\
y \geq -2\sin(x).
\end{cases}
\]

Покажите штриховкой в координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а)
\[
\begin{cases}
y — \cos(x) \geq 0, \\
y + x^2 \geq 3;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
y \leq 2\sin(x), \\
y \geq -2\sin(x).
\end{cases}
\]

а) Для системы неравенств:

\(
\begin{cases}
y — \cos(x) \geq 0, \\
y + x^2 \geq 3
\end{cases}
\)

Первое неравенство \( y — \cos(x) \geq 0 \) означает, что \( y \geq \cos(x) \). То есть, все точки на плоскости, находящиеся **выше** или на графике функции \( y = \cos(x) \).

Второе неравенство \( y + x^2 \geq 3 \) преобразуется к виду \( y \geq 3 — x^2 \). Это множество всех точек, которые лежат **выше** или на параболе \( y = 3 — x^2 \).

Решением системы будет пересечение этих двух областей: то есть, все точки, которые одновременно находятся выше или на графике \( y = \cos(x) \) и выше или на параболе \( y = 3 — x^2 \).

Штриховка на плоскости:

— Нарисовать график \( y = \cos(x) \) (волнообразная линия, максимумы в \( (2\pi n, 1) \), минимумы в \( (\pi + 2\pi n, -1) \)).
— Нарисовать параболу \( y = 3 — x^2 \) (вершина в \( (0,3) \), ветви вниз).
— Зафиксировать область, которая лежит выше обеих этих линий (то есть выше той, которая выше в каждой точке \( x \)).
— Эта область будет выше графика, который в каждой точке выше: \( y \geq \max(\cos(x),\ 3 — x^2) \).

На графике эта область изображается как штриховка над обеими кривыми — выше той, что выше для каждого значения \( x \).

б) Для системы:

\(
\begin{cases}
y \leq 2\sin(x), \\
y \geq -2\sin(x)
\end{cases}
\)

Первое неравенство \( y \leq 2\sin(x) \) — область под графиком функции \( y = 2\sin(x) \).

Второе неравенство \( y \geq -2\sin(x) \) — область над графиком функции \( y = -2\sin(x) \).

Пересечение этих двух областей — это «лента» между кривыми \( y = 2\sin(x) \) и \( y = -2\sin(x) \).

Штриховка на плоскости:

— Нарисовать графики \( y = 2\sin(x) \) (амплитуда 2, волнообразная линия вверх и вниз от нуля).
— Нарисовать \( y = -2\sin(x) \) (такая же, но перевернутая относительно оси абсцисс).
— Отметить область между этими двумя линиями — именно она будет заштрихована, поскольку для любой точки внутри этой «ленты» выполняются оба условия неравенств.

На графике эта область изображается как штриховка между двумя волнообразными линиями.