ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1468 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Существует ли значение \( \alpha \), при котором выполняется:

а) \( \sin \alpha \cos \alpha = \sin 40^\circ \)

б) \( \frac{1}{2} (\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha) = \cos 50^\circ \)

а) Исследуем уравнение:

\( \sin \alpha \cos \alpha = \sin 40^\circ \)

Применим формулу:

\( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \)

Подставим в уравнение:

\( \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \sin 40^\circ \)

Умножим обе части на 2:

\( \sin 2\alpha = 2 \sin 40^\circ \)

Но \( \sin 40^\circ \approx 0.6428 \), тогда:

\( \sin 2\alpha \approx 2 \cdot 0.6428 = 1.2856 \)

Это невозможно, потому что:

\( |\sin x| \leq 1 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} \)

Вывод: уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет, такого значения \( \alpha \) не существует.

б) Исследуем уравнение:

\( \frac{1}{2} (\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha) = \cos 50^\circ \)

Заметим, что:

\( \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \)

Тогда:

\( \frac{1}{2} \cos 2\alpha = \cos 50^\circ \)

Умножим обе части на 2:

\( \cos 2\alpha = 2 \cos 50^\circ \)

Оценим значение \( \cos 50^\circ \):

\( \cos 50^\circ \approx 0.6428 \Rightarrow 2 \cos 50^\circ \approx 1.2856 \)

А это невозможно, потому что:

\( |\cos x| \leq 1 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} \)

Вывод: уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет, такого значения \( \alpha \) не существует.