ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1466 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что \( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha}. \)
Доказать равенство:
\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha}; \)
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha}; \)
\( \sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha = (1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha); \)
\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha, \quad \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha; \)
Что и требовалось доказать.
Задача: Докажите тождество:
\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Решение:
Из формул половинного угла известно, что:
\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Наша цель — доказать, что это также равно выражению \( \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Начнём с равенства:
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Перемножим крест-накрест для проверки эквивалентности:
\( \sin \alpha \cdot \sin \alpha =
(1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \)
Левая часть:
\( \sin^2 \alpha \)
Правая часть — разность квадратов:
\( 1 — \cos^2 \alpha \)
Следовательно:
\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha \)
А это — верное тригонометрическое тождество.
Значит, исходные выражения действительно равны:
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} =
\frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Итак:
\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.