ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1463 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Условие:

Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \), \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)

Найти:

\( \sin \frac{\alpha}{2}, \quad
\cos \frac{\alpha}{2}, \quad
\tan \frac{\alpha}{2} \)

Шаг 1: Находим \( \sin \frac{\alpha}{2} \)

Формула половинного угла:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \cos \alpha}{2} } \)

Подставим значение \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \):

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \frac{1}{3}}{2} } = \sqrt{ \frac{\frac{2}{3}}{2} } = \sqrt{ \frac{1}{3} } \)

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Шаг 2: Находим \( \cos \frac{\alpha}{2} \)

Формула:

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)

Подставим:

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} } = \sqrt{ \frac{\frac{4}{3}}{2} } = \sqrt{ \frac{2}{3} } \)

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)

Шаг 3: Находим \( \tan \frac{\alpha}{2} \)

Формула:

\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{\alpha}{2} }{ \cos \frac{\alpha}{2} } \)

Подставим найденные значения:

\( \tan \frac{\alpha}{2} =
\frac{ \frac{\sqrt{3}}{3} }{ \frac{\sqrt{6}}{3} } =
\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6} } =\)

\(\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} } =
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)

Ответ:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad
\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)