ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1456 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найти значение выражения:

\( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \)

Это соответствует формуле:

\( 2 \sin A \cos A = \sin 2A \)

Здесь \( A = 15^\circ \), тогда:

\( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ \)

Значение \( \sin 30^\circ \) известно:

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

б) Найти значение выражения:

\( \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} \)

Это разность квадратов синуса и косинуса, которая преобразуется по формуле:

\( \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x \)

В нашем случае \( x = \frac{\pi}{8} \), тогда:

\( \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \)

Из таблицы значений: \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

в) Найти значение выражения:

\( \frac{2 \tan \frac{\pi}{12}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{12}} \)

Это тригонометрическая формула для двойного угла тангенса:

\( \frac{2 \tan A}{1 — \tan^2 A} = \tan 2A \)

Здесь \( A = \frac{\pi}{12} \), тогда:

\( \frac{2 \tan \frac{\pi}{12}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{12}} = \tan \left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \tan \frac{\pi}{6} \)

Из таблицы значений: \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

г) Найти значение выражения:

\( 4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \cos 30^\circ \)

Сначала выделим подвыражение \( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \):

\( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

Тогда всё выражение становится:

\( 4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ \)

Подставим табличные значения:

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

д) Найти значение выражения:

\( 4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \cos 30^\circ \)

Это то же самое выражение, что и в пункте г), следовательно, результат тот же:

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

е) Найти значение выражения:

\( \cos^2 15^\circ — \cos^2 75^\circ \)

Используем связь между синусом и косинусом:

\( \cos 75^\circ = \sin(15^\circ) \), так как \( \cos(90^\circ — x) = \sin x \)

Тогда:

\( \cos^2 15^\circ — \cos^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ \)

Используем формулу:

\( \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x \)

Тогда:

\( \cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ \)

Из таблицы: \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)