ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1454 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Упростите выражения:

а) \( \frac{\sin 2x}{2 \cos x} \)

Используем формулу двойного угла:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]

Подставим в выражение:
\[
\frac{\sin 2x}{2 \cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x}
\]

Сократим \( 2 \cos x \):
\[
= \sin x
\]

Ответ: \( \sin x \)

б) \( \frac{2 \sin^2 \alpha}{\sin 2\alpha} \)

Используем формулу двойного угла:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

Подставим в выражение:
\[
\frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha}
\]

Сократим \( 2 \sin \alpha \):
\[
= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha
\]

Ответ: \( \tan \alpha \)

в) \( \cos^2 x — \cos 2x \)

Используем формулу:
\[
\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x
\]

Подставим:
\[
\cos^2 x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 x — \cos^2 x + \sin^2 x = \sin^2 x
\]

Ответ: \( \sin^2 x \)

г) \( \tan 2\alpha (1 — \tan^2 \alpha) \)

Используем формулу:
\[
\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}
\]

Подставим:
\[
\frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} \cdot (1 — \tan^2 \alpha)
\]

Сократим \( 1 — \tan^2 \alpha \):
\[
= 2 \tan \alpha
\]

Ответ: \( 2 \tan \alpha \)