ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1453 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Найдите значения тригонометрических функций \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \), если известно:

\( \tan \frac{\alpha}{2} = 0.5 \)

Шаг 1: Используем формулы через половинный угол.

Формулы:

\[
\sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad\]

\[\cos \alpha = \frac{1 — \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad
\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 — \tan^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad\]

\[\cot \alpha = \frac{1 — \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tan \frac{\alpha}{2}}.
\]

Шаг 2: Подставим \( \tan \frac{\alpha}{2} = 0.5 \) в формулы.

Найдём \( \sin \alpha \):

\[
\sin \alpha = \frac{2 \cdot 0.5}{1 + (0.5)^2} = \frac{1}{1 + 0.25} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}
\]

Найдём \( \cos \alpha \):

\[
\cos \alpha = \frac{1 — 0.25}{1 + 0.25} = \frac{0.75}{1.25} = \frac{3}{5}
\]

Найдём \( \tan \alpha \):

\[
\tan \alpha = \frac{2 \cdot 0.5}{1 — (0.5)^2} = \frac{1}{1 — 0.25} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3}
\]

Найдём \( \cot \alpha \):

\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}
\]

Ответ:

• \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \);
• \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \);
• \( \tan \alpha = \frac{4}{3} \);
• \( \cot \alpha = \frac{3}{4} \).