ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1451 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Найдите значения тригонометрических функций \( \sin 2\alpha \), \( \cos 2\alpha \), \( \tan 2\alpha \), если известно, что:

\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) — угол во второй четверти,
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)

Шаг 1: Найдём \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]

\[
\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}
\]
Поскольку \( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), то угол находится во второй четверти, а там косинус отрицателен:
\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}
\]

Шаг 2: Найдём \( \sin 2\alpha \) по формуле двойного угла:

\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{-24}{25}
\]

Шаг 3: Найдём \( \cos 2\alpha \) по формуле:

\[
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \left( -\frac{4}{5} \right)^2 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}
\]

Шаг 4: Найдём \( \tan 2\alpha \):

\[
\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}
\]

Ответ:

• \( \sin 2\alpha = -\frac{24}{25} \);
• \( \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \);
• \( \tan 2\alpha = -3 \frac{3}{7} \).