ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1450 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Выразите \( \cot 2a \) через:

а) \( \tan a \);

б) \( \cot a \).

а) Выразим \( \cot 2a \) через \( \tan a \):

Напомним определение котангенса двойного угла:
\[
\cot 2a = \frac{1}{\tan 2a}
\]

Формула двойного угла для тангенса:
\[
\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 — \tan^2 a}
\]

Тогда:
\[
\cot 2a = \frac{1}{\frac{2 \tan a}{1 — \tan^2 a}}
\]

Чтобы избавиться от сложной дроби, воспользуемся свойством:
\[
\frac{1}{\frac{A}{B}} = \frac{B}{A}
\]

Получаем:
\[
\cot 2a = \frac{1 — \tan^2 a}{2 \tan a}
\]

Промежуточный итог:

Ответ а): \( \cot 2a = \frac{1 — \tan^2 a}{2 \tan a} \)

б) Выразим \( \cot 2a \) через \( \cot a \):

Уже известно:
\[
\cot 2a = \frac{1 — \tan^2 a}{2 \tan a}
\]

Заменим \( \tan a \) через \( \cot a \). Поскольку:
\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} \quad \text{и} \quad \tan^2 a = \frac{1}{\cot^2 a}
\]

Подставим в формулу:
\[
\cot 2a = \frac{1 — \frac{1}{\cot^2 a}}{2 \cdot \frac{1}{\cot a}}
\]

Преобразуем числитель:

\[
1 — \frac{1}{\cot^2 a} = \frac{\cot^2 a — 1}{\cot^2 a}
\]

Преобразуем знаменатель:

\[
2 \cdot \frac{1}{\cot a} = \frac{2}{\cot a}
\]

Тогда:
\[
\cot 2a = \frac{\frac{\cot^2 a — 1}{\cot^2 a}}{\frac{2}{\cot a}}
\]

Применим деление дробей:

\[
\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}
\]

Тогда:
\[
\cot 2a = \frac{\cot^2 a — 1}{\cot^2 a} \cdot \frac{\cot a}{2} =
\frac{(\cot^2 a — 1)\cot a}{2 \cot^2 a}
\]

Сократим \( \cot^2 a \) в числителе и знаменателе:
\[
\cot 2a = \frac{\cot^2 a — 1}{2 \cot a}
\]

Итог:

Ответ б): \( \cot 2a = \frac{\cot^2 a — 1}{2 \cot a} \)