ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1399 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \cot \alpha}; \)
б) \( \frac{1 — \cot \alpha}{1 — \tan \alpha}; \)
в) \( \frac{\tan \alpha — 1}{\cot \alpha — 1}; \)
г) \( \frac{\cot \alpha + 1}{\tan \alpha + 1}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{1 + \tan a}{1 + \cot a} = \frac{\tan a \cdot (1 + \tan a)}{\tan a + 1} = \tan a; \)
б) \( \frac{1 — \cot a}{1 — \tan a} = \frac{\cot a \cdot (1 — \cot a)}{\cot a — 1} = -\cot a.; \)
в) \( \frac{\tan a — 1}{\cot a — 1} = \frac{\tan a \cdot (\tan a — 1)}{1 — \tan a} = -\tan a; \)
г) \( \frac{\cot a + 1}{\tan a + 1} = \frac{\cot a \cdot (\cot a + 1)}{1 + \cot a} = \cot a. \)
а) Преобразуем выражение: \( \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \cot \alpha} \)
Мы знаем, что \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \). Таким образом, подставим это выражение для \( \cot \alpha \) в знаменатель:
\( \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \frac{1}{\tan \alpha}} \)
Теперь приводим знаменатель к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель на \( \tan \alpha \):
\( = \frac{1 + \tan \alpha}{\frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha}} \)
Теперь умножим на обратную дробь:
\( = (1 + \tan \alpha) \cdot \frac{\tan \alpha}{\tan \alpha + 1} \)
Теперь видим, что \( 1 + \tan \alpha \) и \( \tan \alpha + 1 \) — это одно и то же выражение, и они сокращаются:
\( = \tan \alpha \)
Ответ: \( \tan \alpha \)
б) Преобразуем выражение: \( \frac{1 — \cot \alpha}{1 — \tan \alpha} \)
Вспоминаем, что \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), подставляем это в числитель:
\( = \frac{1 — \frac{1}{\tan \alpha}}{1 — \tan \alpha} \)
Приводим числитель к общему знаменателю:
\( = \frac{\frac{\tan \alpha — 1}{\tan \alpha}}{1 — \tan \alpha} \)
Теперь умножаем числитель на \( \frac{1}{1 — \tan \alpha} \), чтобы привести дробь к более удобному виду:
\( = \frac{\tan \alpha — 1}{\tan \alpha} \cdot \frac{1}{1 — \tan \alpha} \)
Заменим \( \tan \alpha — 1 \) на \( — (1 — \tan \alpha) \), чтобы упростить выражение:
\( = — \frac{1}{\tan \alpha} \)
Так как \( \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha \), то выражение преобразуется в:
\( = — \cot \alpha \)
Ответ: \( — \cot \alpha \)
в) Преобразуем выражение: \( \frac{\tan \alpha — 1}{\cot \alpha — 1} \)
Подставим \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \) в знаменатель:
\( = \frac{\tan \alpha — 1}{\frac{1}{\tan \alpha} — 1} \)
Теперь приводим знаменатель к общему знаменателю:
\( = \frac{\tan \alpha — 1}{\frac{1 — \tan \alpha}{\tan \alpha}} \)
Теперь умножаем числитель и знаменатель на \( \tan \alpha \), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
\( = (\tan \alpha — 1) \cdot \frac{\tan \alpha}{1 — \tan \alpha} \)
Заменим \( \tan \alpha — 1 \) на \( — (1 — \tan \alpha) \), чтобы упростить выражение:
\( = — \tan \alpha \)
Ответ: \( — \tan \alpha \)
г) Преобразуем выражение: \( \frac{\cot \alpha + 1}{\tan \alpha + 1} \)
Подставим \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \) в числитель:
\( = \frac{\frac{1}{\tan \alpha} + 1}{\tan \alpha + 1} \)
Приводим числитель к общему знаменателю:
\( = \frac{\frac{1 + \tan \alpha}{\tan \alpha}}{\tan \alpha + 1} \)
Теперь умножаем числитель и знаменатель на \( \frac{1}{\tan \alpha + 1} \), чтобы упростить выражение:
\( = \frac{1 + \tan \alpha}{\tan \alpha} \cdot \frac{1}{\tan \alpha + 1} \)
Так как \( 1 + \tan \alpha = \tan \alpha + 1 \), то числитель и знаменатель сокращаются:
\( = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha \)
Ответ: \( \cot \alpha \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.