Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1384 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) и \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \). Найдите \( \cos \alpha \) и \( \cot \alpha \).
Известно следующее:
\( 0 < a < \frac{\pi}{2}, \quad \sin a = \frac{3}{5}; \)
\( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}; \)
\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{3}{4}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{4}{3}; \)
Ответ: \( \frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}. \)
Рассмотрим заданное условие: угол \( a \) удовлетворяет неравенству \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), то есть находится в первой четверти единичной окружности. В этой четверти значения всех тригонометрических функций — положительные.
Также нам известно: \( \sin a = \frac{3}{5} \). Значение синуса — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол \( a \) — острый. Следовательно, мы можем представить прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 5, а противолежащим катетом — 3.
По теореме Пифагора найдём длину прилежащего катета:
\( \cos a = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \Rightarrow \)
Пусть прилежащий катет — \( x \). Тогда:
\( x^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \)
Следовательно, \( \cos a = \frac{4}{5} \).
Теперь рассчитаем тангенс:
\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \)
Теперь найдём котангенс, который является обратной величиной к тангенсу:
\( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \)
Итак, поэтапно мы нашли:
1. \( \cos a = \frac{4}{5} \), используя формулу \( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} \) и свойства прямоугольного треугольника;
2. \( \tan a = \frac{3}{4} \), как отношение синуса к косинусу;
3. \( \cot a = \frac{4}{3} \), как обратное значение тангенса.
Ответ: \( \cos a = \frac{4}{5}, \quad \tan a = \frac{3}{4}, \quad \cot a = \frac{4}{3} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.