ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1384 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Рассмотрим заданное условие: угол \( a \) удовлетворяет неравенству \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), то есть находится в первой четверти единичной окружности. В этой четверти значения всех тригонометрических функций — положительные.

Также нам известно: \( \sin a = \frac{3}{5} \). Значение синуса — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол \( a \) — острый. Следовательно, мы можем представить прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 5, а противолежащим катетом — 3.

По теореме Пифагора найдём длину прилежащего катета:

\( \cos a = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \Rightarrow \)

Пусть прилежащий катет — \( x \). Тогда:

\( x^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \)

Следовательно, \( \cos a = \frac{4}{5} \).

Теперь рассчитаем тангенс:

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \)

Теперь найдём котангенс, который является обратной величиной к тангенсу:

\( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \)

Итак, поэтапно мы нашли:

1. \( \cos a = \frac{4}{5} \), используя формулу \( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} \) и свойства прямоугольного треугольника;

2. \( \tan a = \frac{3}{4} \), как отношение синуса к косинусу;

3. \( \cot a = \frac{4}{3} \), как обратное значение тангенса.

Ответ: \( \cos a = \frac{4}{5}, \quad \tan a = \frac{3}{4}, \quad \cot a = \frac{4}{3} \).