Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1345 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
а) \( \tan 46^\circ + \cot 44^\circ > 2; \)
б) \( 3 \cot \frac{2}{5}\pi + 3 \tan \frac{\pi}{7} < 2\sqrt{3}. \)
Доказать неравенство:
а) \( \tan 46^\circ + \cot 44^\circ > 2; \)
\( \tan 46^\circ > \tan 45^\circ = 1; \)
\( \cot 44^\circ > \cot 45^\circ = 1; \)
Неравенство доказано.
б) \( 3 \cot \frac{2}{5}\pi + 3 \tan \frac{\pi}{7} < 2\sqrt{3}; \)
\( 3 \cot \frac{2}{5}\pi \leq 3 \cot \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}; \)
\( 3 \tan \frac{\pi}{7} < 3 \tan \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}; \)
Неравенство доказано.
Задана задача: Докажите неравенства:
а) \( \tan 46^\circ + \cot 44^\circ > 2; \)
1. Начнем с того, что \( \tan 45^\circ = 1 \) и \( \cot 45^\circ = 1 \).
2. Рассмотрим \( \tan 46^\circ \) и \( \cot 44^\circ \). Мы знаем, что функции \( \tan \) и \( \cot \) возрастают на интервале \( (0^\circ; 90^\circ) \), и так как \( 46^\circ > 45^\circ \), то \( \tan 46^\circ > \tan 45^\circ = 1 \). Точно так же, поскольку \( 44^\circ < 45^\circ \), то \( \cot 44^\circ > \cot 45^\circ = 1 \).
3. Таким образом, мы имеем:
\( \tan 46^\circ > 1 \) и \( \cot 44^\circ > 1 \).
4. Следовательно, \( \tan 46^\circ + \cot 44^\circ > 1 + 1 = 2 \).
Ответ: Неравенство доказано.
б) \( 3 \cot \frac{2}{5}\pi + 3 \tan \frac{\pi}{7} < 2\sqrt{3}; \)
1. Рассмотрим \( \cot \frac{2}{5}\pi \) и \( \tan \frac{\pi}{7} \).
2. Для \( \cot \frac{2}{5}\pi \), мы знаем, что \( \frac{2}{5}\pi = 72^\circ \). Мы можем использовать приближенные значения для углов: \( \cot 72^\circ \approx 0.2679 \). Тогда:
\( \cot \frac{2}{5}\pi \approx \cot 72^\circ = 0.2679 \), и умножив на 3, получаем:
\( 3 \cot \frac{2}{5}\pi \approx 3 \times 0.2679 = 0.8037 \).
3. Теперь рассмотрим \( \tan \frac{\pi}{7} \). Мы знаем, что \( \frac{\pi}{7} \approx 25.71^\circ \), и приближенно \( \tan 25.71^\circ \approx 0.4877 \). Умножим на 3:
\( 3 \tan \frac{\pi}{7} \approx 3 \times 0.4877 = 1.4631 \).
4. Теперь сложим результаты:
\( 3 \cot \frac{2}{5}\pi + 3 \tan \frac{\pi}{7} \approx 0.8037 + 1.4631 = 2.2668 \).
5. Сравним это значение с \( 2\sqrt{3} \), где \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), следовательно, \( 2\sqrt{3} \approx 3.464 \).
6. Мы видим, что \( 2.2668 < 3.464 \), значит неравенство выполняется.
Ответ: Неравенство доказано.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.