ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1325 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) \( \sqrt[3]{32a^3b^5}; \)

б) \( \sqrt{\frac{a^6b^7}{81c^8}}, \) где \( b \geq 0, \, c \neq 0. \)

Вынести множитель из-под знака корня:

а) \( \sqrt[3]{32a^3b^5} = \sqrt[3]{8a^3b^3 \cdot 4b^2} = 2ab\sqrt[3]{4b^2}; \)

б) \( \sqrt{\frac{a^6b^7}{81c^8}} = \left| \frac{a^3b^3}{9c^4} \right| \sqrt{b} = \frac{|a^3||b^3|}{9c^4} \sqrt{b}, \quad b \geq 0; \)

Рассмотрим задачу на извлечение множителя из-под знака корня.

а) \( \sqrt[3]{32a^3b^5} \);

1. Первоначально разложим выражение под кубическим корнем:

\[
\sqrt[3]{32a^3b^5} = \sqrt[3]{32 \cdot a^3 \cdot b^5}
\]

2. Разложим числа и степени по отдельности:

\[
32 = 8 \cdot 4, \quad b^5 = b^3 \cdot b^2.
\]

3. Подставляем в исходное выражение:

\[
\sqrt[3]{32a^3b^5} = \sqrt[3]{8a^3b^3 \cdot 4b^2}
\]

4. Извлекаем из-под знака корня полный куб:

\[
\sqrt[3]{8a^3b^3} = 2ab,
\]

и оставляем под корнем оставшийся множитель:

\[
\sqrt[3]{4b^2}.
\]

Ответ: \( \sqrt[3]{32a^3b^5} = 2ab\sqrt[3]{4b^2} \).

б) \( \sqrt{\frac{a^6b^7}{81c^8}}, \) где \( b \geq 0, \, c \neq 0. \)

1. Начнем с того, что разложим выражение под квадратным корнем:

\[
\sqrt{\frac{a^6b^7}{81c^8}} = \frac{\sqrt{a^6b^7}}{\sqrt{81c^8}}.
\]

2. Разберем отдельно числитель и знаменатель:

Числитель: \( \sqrt{a^6b^7} = \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{b^7} = a^3 \cdot b^3 \sqrt{b} \),

Знаменатель: \( \sqrt{81c^8} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{c^8}}{1} = 9c^4 \).

3. Подставляем эти выражения обратно в дробь:

\[
\frac{a^3b^3 \sqrt{b}}{9c^4}
\]

4. Так как \( b \geq 0 \), то \( |b| = b \). Таким образом, окончательное выражение будет:

\[
\frac{|a^3||b^3|}{9c^4} \sqrt{b}.
\]

Ответ: \( \sqrt{\frac{a^6b^7}{81c^8}} = \frac{|a^3||b^3|}{9c^4} \sqrt{b}, \quad b \geq 0. \)