ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1286 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение каждой из тригонометрических функций \( \alpha \), если:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{4}; \)

б) \( \alpha = \frac{5\pi}{6}; \)

в) \( \alpha = -\frac{3\pi}{4}; \)

г) \( \alpha = -\frac{7\pi}{4}. \)

Найти значения функций:

a) $a = \frac{\pi}{4}$;
sin a = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,

cos a = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,

tg a = 1, ctg a = 1;

b) $a = \frac{5\pi}{6} = \pi — \frac{\pi}{6}$;
sin a = $\frac{1}{2}$,

cos a = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$,

tg a = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$,

ctg a = $-\sqrt{3}$;

в) $a = -\frac{3\pi}{4} = -\pi + \frac{\pi}{4}$;
sin a = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$,

cos a = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$,

tg a = 1, ctg a = 1;

г) $a = -\frac{7\pi}{4} = -2\pi + \frac{\pi}{4}$;
sin a = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,

cos a = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,

tg a = 1, ctg a = 1;

a) $a = \frac{\pi}{4}$

1. Для угла $a = \frac{\pi}{4}$, значения тригонометрических функций можно найти с помощью стандартных значений для угла в $45^\circ$.

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Тангенс угла равен:

$$\tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$$

3. Котангенс угла:

$$\ctg \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\tg \left( \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{1} = 1$$

Итак, для $a = \frac{\pi}{4}$ получаем:

$$\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tg a = 1, \quad \ctg a = 1$$

b) $a = \frac{5\pi}{6} = \pi — \frac{\pi}{6}$

1. Для угла $a = \frac{5\pi}{6}$ (или $150^\circ$), мы знаем, что это угол во второй четверти. В этой четверти синус положительный, а косинус отрицательный.

$$\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$ $$\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Тангенс угла:

$$\tg \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right)}{\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

3. Котангенс угла:

$$\ctg \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{\tg \left( \frac{5\pi}{6} \right)} = -\sqrt{3}$$

Итак, для $a = \frac{5\pi}{6}$ получаем:

$$\sin a = \frac{1}{2}, \quad \cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tg a = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \ctg a = -\sqrt{3}$$

в) $a = -\frac{3\pi}{4} = -\pi + \frac{\pi}{4}$

1. Для угла $a = -\frac{3\pi}{4}$ (или $-135^\circ$), мы видим, что это угол в третьей четверти, где синус и косинус оба отрицательные.

$$\sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Тангенс угла:

$$\tg \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right)}{\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$$

3. Котангенс угла:

$$\ctg \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \frac{1}{\tg \left( -\frac{3\pi}{4} \right)} = 1$$

Итак, для $a = -\frac{3\pi}{4}$ получаем:

$$\sin a = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos a = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tg a = 1, \quad \ctg a = 1$$

г) $a = -\frac{7\pi}{4} = -2\pi + \frac{\pi}{4}$

1. Для угла $a = -\frac{7\pi}{4}$, это угол, который представляет собой вращение на $2\pi$ в отрицательную сторону плюс $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, это эквивалентно углу $\frac{\pi}{4}$, так как мы делаем полное вращение.

$$\sin \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Тангенс угла:

$$\tg \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = \frac{\sin \left( -\frac{7\pi}{4} \right)}{\cos \left( -\frac{7\pi}{4} \right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$$

3. Котангенс угла:

$$\ctg \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = \frac{1}{\tg \left( -\frac{7\pi}{4} \right)} = 1$$

Итак, для $a = -\frac{7\pi}{4}$ получаем:

$$\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tg a = 1, \quad \ctg a = 1$$