ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1281 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

На рисунке 123 изображены углы поворота \( 125^\circ \), \( 220^\circ \) и \( -20^\circ \). Найдите приближённые значения тригонометрических функций каждого из этих углов.

На рисунке 123 заданы углы:

Найти значения всех функций:

а) $\alpha = 125^\circ$;

$$\sin \alpha \approx \frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0,8;$$

$$\sin \alpha \approx \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8;$$ $$\cos \alpha \approx -\frac{12}{20}=-\frac{3}{5}=-0,6;$$

$$\cos \alpha \approx -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5} = -0,6;$$ $$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\approx \frac{0,8}{-0,6}=-\frac{4}{3};$$

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \approx \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{4}{3};$$ $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \approx -\frac{3}{4};$$

б) $\alpha = 220^\circ$;

$$\sin \alpha \approx -\frac{13}{20}=-0,65;$$

$$\sin \alpha \approx -\frac{13}{20} = -0,65;$$ $$\cos \alpha \approx -\frac{15}{20}=-0,75;$$

$$\cos \alpha \approx -\frac{15}{20} = -0,75;$$ $$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\approx \frac{13}{15};$$

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \approx \frac{13}{15};$$ $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \approx \frac{15}{13};$$

в) $\alpha = -20^\circ$;

$$\sin \alpha \approx -\frac{6}{20}=-\frac{3}{10}=-0,3;$$

$$\sin \alpha \approx -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10} = -0,3;$$ $$\cos \alpha \approx \frac{19}{20}=\frac{9,5}{10}=0,95;$$

$$\cos \alpha \approx \frac{19}{20} = \frac{9,5}{10} = 0,95;$$

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \approx \frac{-6}{19};$$ $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \approx -\frac{19}{6};$$

a) $\alpha = 125^\circ$

Нахождение синуса ($\sin \alpha$):

Угол $\alpha = 125^\circ$ находится во второй четверти. В этой четверти синус положительный. Смотрим на рисунок, где противолежащий катет равен 16, а гипотенуза — 20:

$$\sin \alpha \approx \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Нахождение косинуса ($\cos \alpha$):

Вторая четверть — это область, где косинус отрицателен. Смотрим на рисунок, где прилежащий катет равен 12. Отношение прилежащего катета к гипотенузе даёт значение косинуса:

$$\cos \alpha \approx -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5} = -0,6$$

Минус появляется, так как косинус отрицателен во второй четверти.

Нахождение тангенса ($\tg \alpha$):

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{4}{3}$$

Знак минус указывает на то, что тангенс в второй четверти отрицателен (так как синус положителен, а косинус отрицателен).

Нахождение котангенса ($\ctg \alpha$):

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$

б) $\alpha = 220^\circ$

Нахождение синуса ($\sin \alpha$):

Угол $\alpha = 220^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Смотрим на рисунок, где противолежащий катет равен 13, а гипотенуза — 20:

$$\sin \alpha \approx -\frac{13}{20} = -0,65$$

Минус ставится, так как синус в третьей четверти отрицателен.

Нахождение косинуса ($\cos \alpha$):

В третьей четверти косинус тоже отрицателен. На рисунке прилежащий катет равен 15, гипотенуза — 20:

$$\cos \alpha \approx -\frac{15}{20} = -0,75$$

Нахождение тангенса ($\tg \alpha$):

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-0,65}{-0,75} = \frac{13}{15}$$

Так как синус и косинус оба отрицательные в третьей четверти, тангенс положителен.

Нахождение котангенса ($\ctg \alpha$):

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{1}{\frac{13}{15}} = \frac{15}{13}$$

в) $\alpha = -20^\circ$

Нахождение синуса ($\sin \alpha$):

Угол $\alpha = -20^\circ$ находится в четвертой четверти. В этой четверти синус отрицателен. На рисунке противолежащий катет равен 6, а гипотенуза — 20:

$$\sin \alpha \approx -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10} = -0,3$$

Нахождение косинуса ($\cos \alpha$):

В четвертой четверти косинус положителен, так как горизонтальный катет направлен вправо. На рисунке прилежащий катет равен 19, гипотенуза — 20:

$$\cos \alpha \approx \frac{19}{20} = 0,95$$

Нахождение тангенса ($\tg \alpha$):

Тангенс равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-0,3}{0,95} \approx \frac{-6}{19}$$

Нахождение котангенса ($\ctg \alpha$):

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{-6}{19}}=-\frac{19}{6}$$