ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1280 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Покажите штриховкой в координатной плоскости решения системы

\[
\begin{cases}
(x — 3)^2 + y^2 \leq 16, \\
x^2 — 3 \geq y.
\end{cases}
\]

Построить график системы:

\[
\begin{cases}
(x — 3)^2 + y^2 \leq 16, \\
x^2 — 3 \geq y.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:

\( x_0 = 3, \, y_0 = 0, \, R = \sqrt{16} = 4; \)

2) Второе неравенство:

\( y \leq x^2 — 3, \, x_0 = 0, \, y_0 = 3; \)

3) На координатной плоскости:

Задача: Покажите штриховкой в координатной плоскости решения системы:

\[
\begin{cases}
(x — 3)^2 + y^2 \leq 16, \\
x^2 — 3 \geq y.
\end{cases}
\]

Решение:

Для построения графика системы неравенств, нужно рассмотреть каждое неравенство по очереди и затем найти область, которая удовлетворяет обеим условиям.

1) Первое неравенство: \( (x — 3)^2 + y^2 \leq 16 \):

Это неравенство представляет собой круг с центром в точке \( (3; 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{16} = 4 \). Таким образом, это неравенство описывает круг, включающий все точки, находящиеся внутри или на окружности радиусом 4, центрированным в точке \( (3; 0) \). Это будет область, ограниченная окружностью с радиусом 4 вокруг точки \( (3; 0) \).

2) Второе неравенство: \( x^2 — 3 \geq y \):

Это неравенство можно переписать как \( y \leq x^2 — 3 \). Это уравнение представляет собой параболу с вершиной в точке \( (0; -3) \) и ветвями, направленными вверх. Неравенство \( y \leq x^2 — 3 \) означает, что мы ищем все точки, расположенные ниже или на этой параболе. Таким образом, область, удовлетворяющая второму неравенству, будет находиться ниже параболы \( y = x^2 — 3 \).

3) Пересечение двух областей:

Теперь мы находим пересечение этих двух областей: круг с центром в \( (3; 0) \) и радиусом 4 и область ниже параболы \( y = x^2 — 3 \). Чтобы найти решения системы, нужно будет затенить область, которая одновременно принадлежит обеим этим областям, то есть внутренности круга и область ниже параболы.

Ответ: График решения системы будет изображением области, которая лежит как внутри окружности радиусом 4 с центром в \( (3; 0) \), так и ниже параболы \( y = x^2 — 3 \).