ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1279 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Функции \( u \), \( v \) и \( w \) определены на множестве \( \mathbb{R} \). Причём \( u \) обратна \( v \) и \( v \) обратна \( w \). Является ли функция \( u \) обратной функцией \( w \)?

Функции \( u \), \( v \) и \( w \) определены на \( \mathbb{R} \);

Функция \( u \) обратна \( v \), \( v \) обратна \( w \):

\( u(v) = x, \, w(v) = x; \)

\( u(v) = w(v), \, u = w; \)

Ответ: нет, они равны.

Задача: Функции \( u \), \( v \) и \( w \) определены на множестве \( \mathbb{R} \). Причем \( u \) обратна \( v \), и \( v \) обратна \( w \). Является ли функция \( u \) обратной функцией для \( w \)?

Решение:

Для начала напомним определение обратных функций:

• Функция \( u \) обратна функции \( v \), если для любого \( x \) из области определения выполняется \( u(v(x)) = x \),
• Функция \( v \) обратна функции \( w \), если для любого \( x \) из области определения выполняется \( v(w(x)) = x \).

Нам нужно выяснить, является ли функция \( u \) обратной для \( w \). Для этого мы проверим, выполняется ли для функции \( u \) равенство \( u(w(x)) = x \).

1. Из условия задачи, что \( u \) обратна \( v \), следует, что \( u(v(x)) = x \) для любого \( x \),

2. Также, из условия, что \( v \) обратна \( w \), следует, что \( v(w(x)) = x \) для любого \( x \).

Теперь рассмотрим, что будет происходить, если мы применим \( u \) к выражению \( v(w(x)) \). Из второго условия получаем \( v(w(x)) = x \), то есть:

\( u(v(w(x))) = u(x) = x \),

что означает, что \( u \) и \( w \) связаны через \( v \), и их поведение не соответствует обратным функциям друг к другу.

Ответ: Нет, функции \( u \) и \( w \) не являются обратными друг к другу. Они равны, но не являются обратными.

Объяснение:

В данном случае, поскольку \( u \) и \( w \) связаны через функцию \( v \), они выполняют одинаковую роль, но не являются обратными функциями. Они представляют собой взаимосвязанные функции через промежуточное \( v \), но не удовлетворяют условию обратимости для друг друга напрямую.