ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1244 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Случайно встретились 7 человек. Что более вероятно: все они родились в разные дни недели или хотя бы двое из них родились в один и тот же день недели?

Случайно встретились 7 человек;

Двои́е из них родились в один день:

\( P(A) = 1 — \frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7}; \)

\( P(A) = 1 — \frac{6!}{7^6} = 1 — \frac{720}{2401 \cdot 49}; \)

\( P(A) > \frac{1}{2}, \, P(\overline{A}) < P(A); \)

Ответ: в один день.

Задача: Случайно встретились 7 человек. Что более вероятно: все они родились в разные дни недели или хотя бы двое из них родились в один и тот же день недели?

Решение:

Для решения задачи используем принцип вероятности противоположных событий. Рассмотрим два события:

• Событие \( A \): хотя бы двое из 7 человек родились в один и тот же день недели.
• Событие \( \overline{A} \): все 7 человек родились в разные дни недели.

Нам нужно вычислить вероятность того, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день недели (событие \( A \)). Это проще сделать через вероятность противоположного события \( \overline{A} \), т.е. вероятность того, что все 7 человек родились в разные дни недели.

Предположим, что для каждого из 7 человек мы выбираем день недели, в который он родился. Всего существует 7 дней недели. Для первого человека есть 7 возможных дней. Для второго человека, чтобы родиться в другой день, остаётся 6 возможных дней, для третьего — 5 дней и так далее.

Таким образом, вероятность того, что все 7 человек родились в разные дни недели, равна:

\( P(\overline{A}) = \frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{6!}{7^6}. \)

Вычислим это значение:

\( P(\overline{A}) = \frac{720}{7^6} = \frac{720}{117649} \approx 0.0061. \)

Теперь вероятность того, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день, будет равна:

\( P(A) = 1 — P(\overline{A}) = 1 — 0.0061 = 0.9939. \)

Как видим, вероятность события \( A \) значительно больше, чем вероятность события \( \overline{A} \). Это означает, что гораздо более вероятно, что хотя бы двое из 7 человек родились в один и тот же день недели.

Ответ: более вероятно, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день недели.