ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1234 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько перестановок можно составить из элементов множества \(\{a, b, c, 1, 2, 3\}\), в которых:

а) первыми элементами являются буквы;

б) первым и последним элементами являются буквы?

Количество всех возможных перестановок из элементов:

\( \{a; b; c; 1; 2; 3\}; \)

а) Первый элемент — буква:

\( 3 \cdot P_5 = 3 \cdot 5! = 3 \cdot 120 = 360; \)

Ответ: 360.

б) Первый и последний — буквы:

\( 3 \cdot 2 \cdot P_4 = 3 \cdot 2 \cdot 4! = 6 \cdot 24 = 144; \)

Ответ: 144.

Задача: Сколько перестановок можно составить из элементов множества \( \{a, b, c, 1, 2, 3\} \), в которых:

a) первыми элементами являются буквы;

b) первым и последним элементами являются буквы?

Решение:

Множество состоит из 6 элементов: \( \{a, b, c, 1, 2, 3\} \). Рассмотрим два случая:

a) Первый элемент — буква:

Для того чтобы первый элемент был буквой, мы должны выбрать одну из трёх букв \( a, b, c \). Таким образом, на первой позиции может быть 3 варианта (буквы).

После того как первая буква выбрана, на оставшихся 5 позициях можно переставить все оставшиеся элементы (5 элементов). Количество способов переставить 5 элементов на 5 позиций равно \( P_5 = 5! \).

Таким образом, общее количество перестановок, в которых первым элементом является буква, равно:

\( 3 \cdot 5! = 3 \cdot 120 = 360 \).

Ответ: 360.

b) Первый и последний — буквы:

Для того чтобы первый и последний элементы были буквами, мы должны выбрать две буквы для этих позиций. Первая буква может быть выбрана из 3 вариантов (буквы), а последняя — из 2 оставшихся вариантов.

После того как выбраны первая и последняя буквы, на оставшихся 4 позициях можно переставить 4 оставшихся элемента (1, 2, 3 и одна из букв). Количество способов переставить 4 элемента на 4 позиции равно \( P_4 = 4! \).

Таким образом, общее количество перестановок, в которых первый и последний элементы — буквы, равно:

\( 3 \cdot 2 \cdot 4! = 3 \cdot 2 \cdot 24 = 144 \).

Ответ: 144.