ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1212 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите высказывания, которые можно получить из предиката \( a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \), добавив к нему:

а) квантор существования;

б) квантор всеобщности.

Что можно сказать об их истинности?

Задан предикат:

\( a^2 + 2 = (0.5)^{-2}; \)

\( a^2 + 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}; \)

\( a^2 + 2 = 4, \, a^2 = 2; \)

а) Квантор существования:

\( \exists a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \) — истинно;

б) Квантор всеобщности:

\( \forall a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \) — ложно;

Задана задача: Запишите высказывания, которые можно получить из предиката \( a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \), добавив к нему:

а) Квантор существования;

Предикат: \( a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \)

Перепишем правую часть уравнения:

\( (0.5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \), поэтому уравнение становится:

\( a^2 + 2 = 4 \)

Решим это уравнение для \( a \):

\( a^2 = 4 — 2 = 2 \)

Таким образом, \( a = \pm \sqrt{2} \), и решение существует.

Теперь добавим к предикату квантор существования, чтобы получить высказывание:

\( \exists a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \)

Это высказывание означает, что существует такое значение \( a \), для которого выполняется равенство. Так как решение существует, это высказывание истинно.

б) Квантор всеобщности;

Теперь добавим к предикату квантор всеобщности, чтобы получить высказывание:

\( \forall a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \)

Это высказывание означает, что для всех значений \( a \) выполняется равенство \( a^2 + 2 = 4 \). Однако мы знаем, что это равенство выполняется только для \( a = \pm \sqrt{2} \), а не для всех значений \( a \). Следовательно, это высказывание ложно.

Ответ:

• а) Квантор существования: \( \exists a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \) — Истинно;
• б) Квантор всеобщности: \( \forall a \mid a^2 + 2 = (0.5)^{-2} \) — Ложно.