ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1209 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны предложения, обозначенные заглавными буквами:

\( A \): Отношение длины окружности к её диаметру равно числу \( \pi \).

\( B \): \( 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + (2n — 1) = n^2 \).

\( C \): \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \).

\( D \): Для любого действительного числа \( x \) верно равенство \( 2x^2 — x — 3 = 0 \).

\( E \): \( \sqrt{x} = \sqrt{-x} \).

\( F \): Сумма смежных углов;

\( G \): Найдётся хотя бы одно действительное число \( x \), такое что будет выполняться равенство \( 2x^2 — x — 3 = 0 \).

\( H \): При любых \( x < 0 \) верно равенство \( \sqrt{x^2} = -x \).

Выпишите предложения, которые:

а) являются высказываниями;

б) являются предикатами;

в) являются тождественными предикатами;

г) не являются высказываниями и не являются предикатами.

Отметьте среди них истинные предложения.

Даны предложения:

\( A \): Отношение длины окружности к диаметру \( \pi \);

\( B \): \( 1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n — 1) = n^2 \), \( E \): \( \sqrt{x} = \sqrt{-x} \);

\( C \): \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \), \( F \): Сумма смежных углов;

\( D \): Для любого числа \( x \) верно \( 2x^2 — x — 3 = 0 \);

\( G \): Существует \( x \), для которого \( 2x^2 — x — 3 = 0 \);

\( H \): При любых \( x < 0 \) верно равенство \( \sqrt{x^2} = -x \);

Предложение \( B \):

\( \frac{1 + (2n — 1)}{2} \cdot n = n^2; \)

Предложение \( C \):

\( \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} + 1; \)

Предложение \( G \):

\( 2x^2 — x — 3 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 > 0; \)

а) Являются высказываниями:

\( A \), \( C \), \( D \), \( G \), \( H \);

б) Являются предикатами:

\( B \), \( E \);

в) Тождественные предикаты:

\( B \);

г) Не являются высказываниями:

\( B \), \( E \), \( F \);

д) Не высказывания и предикаты:

\( F \);

Истинные предложения:

\( A \), \( B \), \( C \), \( G \), \( H \);

Даны предложения, обозначенные заглавными буквами:

\( A \): Отношение длины окружности к её диаметру равно числу \( \pi \).

\( B \): \( 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + (2n — 1) = n^2 \).

\( C \): \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \).

\( D \): Для любого действительного числа \( x \) верно равенство \( 2x^2 — x — 3 = 0 \).

Рассмотрим ответы:

\( A \): Отношение длины окружности к диаметру \( \pi \);

\( B \): \( 1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n — 1) = n^2 \), \( E \): \( \sqrt{x} = \sqrt{-x} \);

\( C \): \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \), \( F \): Сумма смежных углов;

\( D \): Для любого числа \( x \) верно \( 2x^2 — x — 3 = 0 \);

\( G \): Существует \( x \), для которого \( 2x^2 — x — 3 = 0 \);

\( H \): При любых \( x < 0 \) верно равенство \( \sqrt{x^2} = -x \);

Теперь разберём, что является высказыванием, предикатом и тождественным предикатом.

Высказывания — это утверждения, которые можно оценить как истинные или ложные:

• \( A \): Это высказывание, так как оно всегда истинно.
• \( C \): Это высказывание, так как оно истинно, поскольку \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \) при проверке.
• \( D \): Это не высказывание, так как оно не определяет утверждения о числе, но скорее является уравнением, не имеющим решения для всех \( x \), а только для конкретных значений.
• \( G \): Это высказывание, так как для данного уравнения существует \( x \), которое удовлетворяет равенству.
• \( H \): Это высказывание, так как оно всегда верно при \( x < 0 \).

Предикаты — это выражения, которые зависят от переменных и становятся высказываниями, если подставить конкретные значения для переменных:

• \( B \): Это предикат, так как для любого \( n \) его значение зависит от конкретного \( n \) и может быть истинным или ложным.
• \( E \): Это также предикат, так как выражение зависит от значения \( x \), и его истинность также варьируется в зависимости от \( x \).

Тождественные предикаты — это такие предикаты, которые всегда истинны для всех значений переменных:

• \( B \): Это тождественный предикат, так как данное выражение всегда истинно для всех натуральных чисел \( n \), так как сумма всех нечётных чисел действительно равна квадрату числа \( n \).

Не являются высказываниями:

• \( B \), \( E \), \( F \) — это не высказывания, так как они зависят от переменных и становятся высказываниями только при конкретных значениях переменных.

Не высказывания и предикаты:

• \( F \): Это выражение не является ни высказыванием, ни предикатом, так как оно не имеет определённой структуры, связанной с истинностью или ложностью.

Истинные предложения:

• \( A \), \( B \), \( C \), \( G \), \( H \) — все эти предложения истинны при проверке.