ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1202 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите дисперсию случайной величины, которая с равными вероятностями принимает все целые значения от 0 до 6.

Дана случайная величина:

\( 0 \leq X \leq 6, \, P(X = n) = \frac{1}{7}; \)

1) Математическое ожидание:

\( E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{7} = \frac{21}{7} = 3; \)

2) Дисперсия значений:

\( D(X) = \frac{3^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2}{7}; \)

\( D(X) = \frac{9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{7} = \frac{28}{7} = 4; \)

Ответ: 4.

Задача: Найдите дисперсию случайной величины, которая с равными вероятностями принимает все целые значения от 0 до 6.

Дано: Случайная величина \( X \), которая принимает значения от 0 до 6 с равными вероятностями. Вероятность для каждого значения: \( P(X = n) = \frac{1}{7} \), где \( n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).

1) Математическое ожидание \( E(X) \):

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Шаг 1: \( E(X) = \sum_{n=0}^{6} n \cdot P(X = n) \)

Поскольку вероятность для каждого значения равна \( \frac{1}{7} \), подставляем это в формулу:

Шаг 2: \( E(X) = \frac{1}{7} \cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \)

Складываем числа в скобках: \( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \)

Шаг 3: \( E(X) = \frac{21}{7} = 3 \)

Ответ: Математическое ожидание равно \( E(X) = 3 \).

2) Дисперсия \( D(X) \):

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

Шаг 1: \( D(X) = \sum_{n=0}^{6} (n — E(X))^2 \cdot P(X = n) \)

Так как \( E(X) = 3 \), подставляем это значение в формулу:

Шаг 2: \( D(X) = \frac{3^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2}{7}; \)

Шаг 3: Теперь подставляем полученные значения:

\( D(X) = \frac{1}{7} \cdot (9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) \)

Шаг 4: Складываем числа: \( 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28 \)

Шаг 5: \( D(X) = \frac{28}{7} = 4 \)

Ответ: Дисперсия случайной величины \( D(X) = 4 \).