ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1199 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Случайная величина \( X \) принимает все натуральные значения от 1 до 9. Вероятность события \( (X = n) \) равна \( \frac{n}{45} \). Найдите \( E(X) \).

Дана случайная величина:

\( 1 \leq X \leq 9, \, (X = n) = \frac{n}{45}; \)

Найдем математическое ожидание:

\( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{45} + 2 \cdot \frac{2}{45} + 3 \cdot \frac{3}{45} + 4 \cdot \frac{4}{45} + \cdots + 9 \cdot \frac{9}{45}; \)

\( E(X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81}{45}; \)

\( E(X) = \frac{285}{45} = \frac{57}{9} = 6 \frac{3}{9} = 6 \frac{1}{3}; \)

Ответ: \( 6 \frac{1}{3}. \)

Задача: Случайная величина \( X \) принимает все натуральные значения от 1 до 9. Вероятность события \( (X = n) \) равна \( \frac{n}{45} \). Найдите математическое ожидание \( E(X) \).

Дано:

Случайная величина \( X \) принимает значения \( X = 1, 2, 3, \dots, 9 \), и для каждого из этих значений вероятность того, что \( X = n \), равна \( P(X = n) = \frac{n}{45} \), где \( n \) — это значение случайной величины.

Шаг 1: Математическое ожидание для дискретной случайной величины \( X \) вычисляется по следующей формуле:

\( E(X) = \sum_{n=1}^{9} x_n \cdot P(X = x_n) \),

где \( x_n \) — это возможные значения случайной величины \( X \), а \( P(X = x_n) \) — соответствующие вероятности этих значений.

В нашей задаче значения случайной величины \( X \) — это числа от 1 до 9, а вероятности \( P(X = n) \) равны \( \frac{n}{45} \). Таким образом, математическое ожидание можно записать как:

\( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{45} + 2 \cdot \frac{2}{45} + 3 \cdot \frac{3}{45} + 4 \cdot \frac{4}{45} + \cdots + 9 \cdot \frac{9}{45} \)

Шаг 2: Преобразуем выражение:

Это выражение можно упростить, записав его в виде суммы квадратов чисел от 1 до 9, умноженных на \( \frac{1}{45} \). То есть:

\( E(X) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2}{45} \)

Шаг 3: Вычислим сумму квадратов чисел от 1 до 9:

Вычислим квадраты чисел от 1 до 9:

• \( 1^2 = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 3^2 = 9 \)
• \( 4^2 = 16 \)
• \( 5^2 = 25 \)
• \( 6^2 = 36 \)
• \( 7^2 = 49 \)
• \( 8^2 = 64 \)
• \( 9^2 = 81 \)

Теперь сложим все эти квадраты:

\( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285 \)

Шаг 4: Подставим полученную сумму в формулу для математического ожидания:

\( E(X) = \frac{285}{45} \)

Шаг 5: Упростим дробь:

\( E(X) = \frac{285}{45} = \frac{57}{9} = 6 \frac{3}{9} = 6 \frac{1}{3} \)

Ответ: Математическое ожидание случайной величины \( X \) равно \( E(X) = 6 \frac{1}{3} \).

Резюме: Мы использовали формулу для математического ожидания дискретной случайной величины, вычислили сумму квадратов значений, затем подставили результат в формулу и упростили дробь до смешанного числа.