ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1190 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Антон решает задачи с вероятностью успеха 0,75. Ему предложено решить 10 задач. Найдите вероятность того, что Антон правильно решит:

• а) 8 задач;
• б) не менее 8 задач;
• в) не менее 6 задач.

Вероятность решить верно задачу 0,75;

Вероятность, что из 10-ти задач решены:

\( p = 0.75, \ q = 1 — p = 0.25; \)

а) Ровно восемь задач:

\( P_{10}(8) = C_{10}^8 p^8 q^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2; \)

\( P_{10}(8) \approx 45 \cdot 0.10011 \cdot 0.0625 \approx 0.28; \)

Ответ: \( 0.28 \).

б) Не менее восьми задач:

\( P = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = C_{10}^8 p^8 q^2 + C_{10}^9 p^9 q + C_{10}^{10} p^{10}; \)

\( P = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 + \frac{10!}{1! \cdot 9!} \cdot 0.75^9 \cdot 0.25 + \frac{10!}{10! \cdot 0!} \cdot 0.75^{10}; \)

\( P \approx 45 \cdot 0.1 \cdot 0.0625 + 10 \cdot 0.07508 \cdot 0.25 + 0.0563 \approx 0.53; \)

Ответ: \( 0.53 \).

в) Не менее шести задач:

\( P = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = C_{10}^6 p^6 q^4 + \)

\( + C_{10}^7 p^7 q^3 + C_{10}^8 p^8 q^2 + C_{10}^9 p^9 q + C_{10}^{10} p^{10} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \cdot 0.75^6 \cdot 0.25^4 + \)

\( + \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot 0.75^7 \cdot 0.25^3 + \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 + \frac{10!}{1! \cdot 9!} \cdot 0.75^9 \cdot 0.25 + \)

\( + \frac{10!}{10! \cdot 0!} \cdot 0.75^{10} \approx 210 \cdot 0.0007 + 120 \cdot 0.0021 + 45 \cdot 0.0063 + \)

\( + 10 \cdot 0.0187 + 0.0563 \approx 0.92; \)

Ответ: \( 0.92 \).

Задача: Антон решает задачи с вероятностью успеха 0,75. Ему предложено решить 10 задач. Найдите вероятность того, что Антон правильно решит:

Обозначим: Вероятность решения задачи правильно равна \( p = 0.75 \), а вероятность ошибки (неправильного ответа) \( q = 1 — p = 0.25 \). Всего задач \( n = 10 \).

Формула: Для вычисления вероятности того, что Антон решит \( k \) задач правильно, используется формула для числа сочетаний \( C_n^k \) и вероятности успеха \( p \) или неудачи \( q \):

\( P = C_n^k p^k q^{n-k} \)

а) Ровно восемь задач:

Нам нужно найти вероятность того, что Антон решит ровно 8 задач правильно. Для этого вычисляем вероятность для 8 успехов:

Шаг 1: Рассчитываем сочетания для 8 успехов:

\( P_{10}(8) = C_{10}^8 p^8 q^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 \)

Шаг 2: Выполняем вычисления:

\( P_{10}(8) \approx 45 \cdot 0.10011 \cdot 0.0625 = 0.28 \)

Ответ: Вероятность того, что Антон решит ровно 8 задач правильно, равна \( 0.28 \).

б) Не менее восьми задач:

Нам нужно найти вероятность того, что Антон решит не менее 8 задач правильно. Это значит, что нужно найти вероятность для 8, 9 и 10 успехов:

Шаг 1: Рассчитываем вероятность для 8, 9 и 10 успехов:

\( P = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) \)

Для \( P_{10}(8) \), \( P_{10}(9) \), \( P_{10}(10) \) считаем:

\( P_{10}(8) = C_{10}^8 p^8 q^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 \)

\( P_{10}(9) = C_{10}^9 p^9 q = \frac{10!}{1! \cdot 9!} \cdot 0.75^9 \cdot 0.25 \)

\( P_{10}(10) = C_{10}^{10} p^{10} = \frac{10!}{10! \cdot 0!} \cdot 0.75^{10} \)

Шаг 2: Выполняем вычисления для каждого случая:

\( P_{10}(8) \approx 45 \cdot 0.10011 \cdot 0.0625 = 0.28 \)

\( P_{10}(9) \approx 10 \cdot 0.07508 \cdot 0.25 = 0.1877 \)

\( P_{10}(10) \approx 1 \cdot 0.0563 = 0.0563 \)

Шаг 3: Суммируем вероятности:

\( P \approx 0.28 + 0.1877 + 0.0563 = 0.53 \)

Ответ: Вероятность того, что Антон решит не менее 8 задач, равна \( 0.53 \).

в) Не менее шести задач:

Нам нужно найти вероятность того, что Антон решит не менее 6 задач правильно. Это значит, что нужно вычислить вероятность для 6, 7, 8, 9 и 10 успехов:

Шаг 1: Рассчитываем вероятности для 6, 7, 8, 9 и 10 успехов:

\( P = P_{10}(6) + P_{10}(7) + P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) \)

Для \( P_{10}(6) \), \( P_{10}(7) \), \( P_{10}(8) \), \( P_{10}(9) \), \( P_{10}(10) \) считаем:

\( P_{10}(6) = C_{10}^6 p^6 q^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \cdot 0.75^6 \cdot 0.25^4 \)

\( P_{10}(7) = C_{10}^7 p^7 q^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot 0.75^7 \cdot 0.25^3 \)

\( P_{10}(8) = C_{10}^8 p^8 q^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 \)

\( P_{10}(9) = C_{10}^9 p^9 q = \frac{10!}{1! \cdot 9!} \cdot 0.75^9 \cdot 0.25 \)

\( P_{10}(10) = C_{10}^{10} p^{10} = \frac{10!}{10! \cdot 0!} \cdot 0.75^{10} \)

Шаг 2: Выполняем вычисления для каждого случая:

\( P_{10}(6) \approx 210 \cdot 0.0007 = 0.147 \)

\( P_{10}(7) \approx 120 \cdot 0.0021 = 0.252 \)

\( P_{10}(8) \approx 45 \cdot 0.0063 = 0.2835 \)

\( P_{10}(9) \approx 10 \cdot 0.0187 = 0.187 \)

\( P_{10}(10) \approx 0.0563 \)

Шаг 3: Суммируем вероятности:

\( P \approx 0.147 + 0.252 + 0.2835 + 0.187 + 0.0563 = 0.92 \)

Ответ: Вероятность того, что Антон решит не менее 6 задач, равна \( 0.92 \).