ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1186 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В тесте по математике 5 заданий. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один — верный. Какова вероятность, отвечая наугад, выбрать:

• а) ровно три правильных ответа;
• б) только первые два правильных ответа;
• в) первые два правильных ответа?

В тесте 5 заданий с 4 вариантами;

Вероятность выбрать правильно:

\( p = \frac{1}{4}, \ q = 1 — p = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}; \)

а) Ровно три ответа:

\( P_5(3) = C_5^3 p^3 q^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^2; \)

\( P_5(3) = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{4^3} \cdot \frac{3^2}{4^2} = \frac{45}{512}; \)

Ответ: \( \frac{45}{512} \)

б) Только первые два ответа:

\( P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3^3}{4^5} = \frac{27}{1024}; \)

Ответ: \( \frac{27}{1024} \)

в) Первые два ответа:

\( P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}; \)

Ответ: \( \frac{1}{16}. \)

Задача: В тесте по математике 5 заданий. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один — верный. Нужно найти вероятность того, что, отвечая наугад, будет выбран:

Обозначим:

Вероятность выбрать правильный ответ: \( p = \frac{1}{4} \)

Вероятность выбрать неправильный ответ: \( q = 1 — p = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

а) Ровно три правильных ответа:

Для того чтобы выбрать ровно три правильных ответа, нужно из 5 заданий выбрать 3 правильных, а оставшиеся 2 — неправильных.

Шаг 1: Используем формулу для вероятности, что будет ровно 3 правильных ответа из 5, где:

Количество способов выбрать 3 правильных ответа из 5: \( C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \)

Подставляем в формулу:

\( P_5(3) = C_5^3 p^3 q^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)

Шаг 2: Вычисляем:

\( P_5(3) = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{4^3} \cdot \frac{3^2}{4^2} \)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( P_5(3) = \frac{45}{512} \)

Ответ: Вероятность того, что будут выбраны ровно три правильных ответа, равна \( \frac{45}{512} \).

б) Только первые два правильных ответа:

Для того чтобы выбрать только первые два правильных ответа, необходимо, чтобы в первых двух заданиях были выбраны правильные ответы, а в оставшихся трех заданиях — неправильные.

Шаг 1: Вероятность для первого правильного ответа \( \frac{1}{4} \), для второго правильного — \( \frac{1}{4} \), а для оставшихся трех — неправильных — \( \frac{3}{4} \) для каждого.

Подставляем в формулу:

\( P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( P(A) = \frac{3^3}{4^5} = \frac{27}{1024} \)

Ответ: Вероятность того, что будут выбраны только первые два правильных ответа, равна \( \frac{27}{1024} \).

в) Первые два правильных ответа:

Для того чтобы выбрать только первые два правильных ответа, необходимо, чтобы в первых двух заданиях были выбраны правильные ответы, и в остальных заданиях могут быть выбраны любые ответы, включая неправильные.

Шаг 1: Вероятность для первого правильного ответа \( \frac{1}{4} \), для второго правильного — \( \frac{1}{4} \).

Подставляем в формулу:

\( P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( P(A) = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)

Ответ: Вероятность того, что будут выбраны только первые два правильных ответа, равна \( \frac{1}{16} \).