ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1169 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство \( \sqrt{10x + 3} < \sqrt{14 — x}. \)

Решить неравенство:
\( \sqrt{10x + 3} < \sqrt{14 — x}; \)
\( 10x + 3 < 14 — x; \)
\( 11x < 11, \ x < 1; \)

Область определения:
\( 10x + 3 \geq 0, \ x \geq -0.3; \)

Ответ: \([-0.3; 1). \)

Задача: Решите неравенство \( \sqrt{10x + 3} < \sqrt{14 — x} \).

Шаг 1: Чтобы решить неравенство, начнём с того, что оба выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными. То есть необходимо найти область определения выражений \( \sqrt{10x + 3} \) и \( \sqrt{14 — x} \).

Шаг 2: Найдём область определения для каждого из выражений:

• Для \( \sqrt{10x + 3} \), чтобы выражение под корнем было неотрицательным, должно выполняться неравенство: \( 10x + 3 \geq 0 \), что даёт: \( x \geq -0.3 \).
• Для \( \sqrt{14 — x} \), чтобы выражение под корнем было неотрицательным, должно выполняться неравенство: \( 14 — x \geq 0 \), что даёт: \( x \leq 14 \).

Таким образом, область определения неравенства — это пересечение двух условий: \( x \geq -0.3 \) и \( x \leq 14 \), то есть \( -0.3 \leq x \leq 14 \).

Шаг 3: Теперь решим неравенство. Чтобы избавиться от квадратных корней, возведём обе части неравенства в квадрат. Однако при этом важно помнить, что при возведении неравенства с квадратами знак неравенства может измениться, если обе стороны положительные, что в данном случае выполняется.

Исходное неравенство:

\( \sqrt{10x + 3} < \sqrt{14 — x} \).

Возводим обе части в квадрат:

\( 10x + 3 < 14 — x \).

Шаг 4: Решаем полученное линейное неравенство:

\( 10x + 3 < 14 — x \).

Переносим все выражения с \( x \) в одну сторону, а остальные числа в другую:

\( 10x + x < 14 — 3 \),

\( 11x < 11 \),

\( x < 1 \).

Шаг 5: Мы нашли, что \( x < 1 \), но также не забываем про область определения: \( x \geq -0.3 \).

Ответ: Объединяя условия, получаем, что решение неравенства: \( -0.3 \leq x < 1 \), то есть решение — это промежуток \( [-0.3; 1) \).