ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1128 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько диагоналей имеет выпуклый двенадцатиугольник?

Найти количество диагоналей в выпуклом двенадцатиугольнике:

\( N = C_{12}^2 — 12 = \frac{12!}{2! \cdot 10!} — 12; \)

\( N = \frac{12 \cdot 11}{2} — 12 = 66 — 12 = 54; \)

Ответ: 54.

Задача:

Сколько диагоналей имеет выпуклый двенадцатиугольник?

Решение:

1. В выпуклом многоугольнике диагональ соединяет две не смежные вершины. Чтобы найти количество диагоналей, нужно рассчитать количество всех возможных отрезков, соединяющих любые две вершины, и вычесть количество сторон многоугольника, которые не являются диагоналями.

2. Для многоугольника с \( n \) вершинами количество всех отрезков, соединяющих любые две вершины, равно количеству сочетаний из \( n \) вершин по 2. Это выражается как:

\( C_n^2 = \frac{n!}{2! \cdot (n — 2)!} \)

3. Количество диагоналей будет равно разности между количеством всех отрезков и количеством сторон многоугольника:

\( N = C_n^2 — n \)

4. В данном случае, для двенадцатиугольника, \( n = 12 \), подставим в формулу:

\( N = C_{12}^2 — 12 \)

5. Вычислим \( C_{12}^2 \):

\( C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \)

6. Теперь вычитаем количество сторон (12):

\( N = 66 — 12 = 54 \)

Ответ: 54.