ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1118 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены все возможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них чисел:

а) кратных 2;

б) кратных 3;

в) кратных 4;

г) кратных 5?

Количество таких трёхзначных чисел, которые состоят из цифр:

1; 2; 3; 4; 5;

а) Кратных двум:

\( N = \{2; 4\} = 2; \)

\( NA_4^2 = 2 \cdot \frac{4!}{(4-2)!} = 4!; \)

\( NA_4^2 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24; \)

Ответ: 24.

б) Кратные трем:

\( N = \{123; 135; 234; 345\} = 4; \)

\( NP_3 = 4 \cdot 3! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24; \)

Ответ: 24.

в) Кратные четырем:

\( N = \{12; 24; 32; 52\} = 4; \)

\( (5 — 2)N = 4 \cdot 3 = 12; \)

Ответ: 12.

г) Кратные пяти:

\( A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 4 \cdot 3 = 12; \)

Ответ: 12.

Задача:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены все возможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них чисел:

Решение:

а) Кратных 2:

1. Для того чтобы число было кратно 2, его последняя цифра должна быть чётной. Из данных цифр чётными являются 2 и 4.

2. Следовательно, для последних цифр числа у нас есть 2 варианта (2 или 4). Далее для оставшихся двух цифр (всего из 4 оставшихся цифр: 1, 3, 4, 5) нужно выбрать 2 цифры и расположить их на оставшихся местах.

3. Количество способов выбрать 2 цифры из оставшихся 4 (и расположить их на первых двух местах) можно вычислить через перестановки из 4 элементов по 2: \( A_4^2 = \frac{4!}{(4 — 2)!} = 4 \cdot 3 = 12 \).

4. Учитывая, что для последней цифры есть 2 варианта (2 или 4), общее количество чисел, которые будут кратны 2, равно:

\( 2 \cdot 12 = 24 \).

Ответ: 24.

б) Кратных 3:

1. Для того чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратной 3. Сумма всех цифр \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \), и так как 15 делится на 3, любое трёхзначное число, составленное из этих цифр, будет кратно 3.

2. Количество возможных таких трёхзначных чисел равно количеству перестановок 3 цифр из 5. Мы можем выбрать 3 цифры из 5 и расставить их в любом порядке. Это можно посчитать через перестановки \( A_5^3 \):

\( A_5^3 = \frac{5!}{(5 — 3)!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \).

3. Таким образом, количество чисел, кратных 3, равно 24.

Ответ: 24.

в) Кратных 4:

1. Для того чтобы число было кратно 4, последние две цифры числа должны образовывать число, кратное 4. Теперь проверим все возможные пары последних цифр из оставшихся цифр (2, 3, 4, 5):

• 12 — не кратно 4;
• 24 — кратно 4;
• 32 — кратно 4;
• 52 — кратно 4.

2. Таким образом, возможные пары для последних двух цифр — это 24, 32 и 52. Для каждой из этих пар мы можем выбрать первую цифру из оставшихся 3 цифр (всего цифры 1, 2, 3, 4, 5), и расставить её на оставшееся место.

3. Количество способов для каждой пары последних цифр выбрать первую цифру равно 3, так как на оставшемся месте может быть любая из оставшихся 3 цифр.

4. Итого, количество чисел, кратных 4, равно: \( 3 \cdot 4 = 12 \).

Ответ: 12.

г) Кратных 5:

1. Для того чтобы число было кратно 5, его последняя цифра должна быть 5. Таким образом, мы должны выбрать 2 цифры из оставшихся 4 цифр (1, 2, 3, 4) и расставить их на первых двух местах.

2. Количество способов выбрать и расставить 2 цифры из 4: \( A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 4 \cdot 3 = 12 \).

Ответ: 12.