ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1117 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислите: а) \( A_8^3 — A_8^2 \); б) \( A_7^4 — A_6^3 \); в) \( \frac{A_{10}^6}{A_9^3} — A_9^4 \).

Вычислить значение:

а) \( A_8^3 — A_8^2 = \frac{8!}{(8-3)!} — \frac{8!}{(8-2)!} = \)

\( = \frac{8!}{5!} — \frac{8!}{6!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 — 8 \cdot 7 = \)

\( = 8 \cdot 7 \cdot (6 — 1) = 56 \cdot 5 = 280; \)

Ответ: 280.

б) \( A_7^4 — A_6^3 = \frac{7!}{(7-4)!} — \frac{6!}{(6-3)!} = \)

\( = \frac{7!}{3!} — \frac{6!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 — 6 \cdot 5 \cdot 4 = \)

\( = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (7 — 1) = 120 \cdot 6 = 720; \)

Ответ: 720.

в) \( \frac{A_{10}^6 — A_{10}^5}{A_9^5 — A_9^4} = \frac{\frac{10!}{(10-6)!} — \frac{10!}{(10-5)!}}{\frac{9!}{(9-5)!} — \frac{9!}{(9-4)!}} = \frac{\frac{10!}{4!} — \frac{10!}{5!}}{\frac{9!}{4!} — \frac{9!}{5!}} = \)

\( = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 — 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 — 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{10 \cdot 5 — 10}{5 — 1} = \)

\( = \frac{50 — 10}{4} = \frac{40}{4} = 10; \)

Ответ: 10.

Задача:

Вычислите:

а) \( A_8^3 — A_8^2 \);

Шаг 1: Напоминаем, что формула для размещений \( A_n^k \) выглядит следующим образом:

\( A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!} \)

Шаг 2: Рассчитаем \( A_8^3 \) и \( A_8^2 \):

— Для \( A_8^3 \) (где \( n = 8 \) и \( k = 3 \)):

\( A_8^3 = \frac{8!}{(8 — 3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \)

— Для \( A_8^2 \) (где \( n = 8 \) и \( k = 2 \)):

\( A_8^2 = \frac{8!}{(8 — 2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \cdot 7 \)

Шаг 3: Теперь вычитаем \( A_8^2 \) из \( A_8^3 \):

\( A_8^3 — A_8^2 = 8 \cdot 7 \cdot 6 — 8 \cdot 7 \)

\( = 8 \cdot 7 \cdot (6 — 1) = 56 \cdot 5 = 280 \)

Ответ: 280.

б) \( A_7^4 — A_6^3 \);

Шаг 1: Рассчитаем \( A_7^4 \) и \( A_6^3 \):

— Для \( A_7^4 \) (где \( n = 7 \) и \( k = 4 \)):

\( A_7^4 = \frac{7!}{(7 — 4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \)

— Для \( A_6^3 \) (где \( n = 6 \) и \( k = 3 \)):

\( A_6^3 = \frac{6!}{(6 — 3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \)

Шаг 2: Теперь вычитаем \( A_6^3 \) из \( A_7^4 \):

\( A_7^4 — A_6^3 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 — 6 \cdot 5 \cdot 4 \)

\( = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (7 — 1) = 120 \cdot 6 = 720 \)

Ответ: 720.

в) \( \frac{A_{10}^6}{A_9^3} — A_9^4 \);

Шаг 1: Рассчитаем \( A_{10}^6 \), \( A_9^3 \) и \( A_9^4 \):

— Для \( A_{10}^6 \) (где \( n = 10 \) и \( k = 6 \)):

\( A_{10}^6 = \frac{10!}{(10 — 6)!} = \frac{10!}{4!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \)

— Для \( A_9^3 \) (где \( n = 9 \) и \( k = 3 \)):

\( A_9^3 = \frac{9!}{(9 — 3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \)

— Для \( A_9^4 \) (где \( n = 9 \) и \( k = 4 \)):

\( A_9^4 = \frac{9!}{(9 — 4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \)

Шаг 2: Разделим \( A_{10}^6 \) на \( A_9^3 \):

\( \frac{A_{10}^6}{A_9^3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{10 \cdot 5}{1} = 50 \)

Шаг 3: Теперь вычитаем \( A_9^4 \):

\( 50 — A_9^4 = 50 — 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 50 — 10 = 10 \)

Ответ: 10.