ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1074 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите символически определение возрастающей на множестве \( X \) функции. Запишите символически и сформулируйте отрицание этого предложения. Определение какой функции при этом дано?

Возрастающая функция:

\[
\forall (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2);
\]

Отрицание высказывания:

\[
\exists (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) \leq f(x_2);
\]

Убывающая функция:

\[
\forall (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2);
\]

(Отрицание высказывания не определяет какую-либо монотонность функции \( f(x) \))

Задача: Запишите символически определение возрастающей на множестве \( X \) функции. Запишите символически и сформулируйте отрицание этого предложения. Определение какой функции при этом дано?

Определение возрастающей функции:

Функция \( f(x) \) называется возрастающей на множестве \( X \), если для любых двух точек \( x_1 \) и \( x_2 \) из множества \( X \), таких что \( x_1 > x_2 \), выполняется неравенство:

\( \forall (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) > f(x_2); \)

Отрицание этого высказывания:

Чтобы записать отрицание данного утверждения, нужно применить правила логики. Отрицание квантора всеобщности \( \forall \) приводит к существованию \( \exists \), и отрицание импликации приводит к тому, что импликация становится ложной:

\( \exists (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) \leq f(x_2); \)

Это означает, что существует хотя бы одна пара точек \( x_1 \) и \( x_2 \) на множестве \( X \), для которых \( x_1 > x_2 \), но при этом \( f(x_1) \leq f(x_2) \), то есть функция не является строго возрастающей.

Определение убывающей функции:

Если мы изменим условие \( f(x_1) > f(x_2) \) на \( f(x_1) < f(x_2) \), то получим определение убывающей функции:

\( \forall (x_1, x_2) \in X \mid x_1 > x_2 \rightarrow f(x_1) < f(x_2); \)

Пояснение:

• Определение возрастающей функции записано через квантор всеобщности и импликацию, что означает, что для всех пар точек с \( x_1 > x_2 \), функция должна быть строго возрастающей, то есть \( f(x_1) > f(x_2) \).
• Отрицание этого определения утверждает, что существует хотя бы одна пара точек, для которых выполняется \( x_1 > x_2 \), но при этом \( f(x_1) \leq f(x_2) \), что говорит о том, что функция не является строго возрастающей.
• Если рассматривать отрицание и изменить знак на \( f(x_1) < f(x_2) \), то получаем определение убывающей функции.