ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1057 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Как с помощью кванторов существования и единственности из предиката \( a^2 + b^2 = 25 \) сделать высказывание? Сколькими способами можно это сделать? Сформулируйте эти высказывания.

Задан предикат:
\[
a^2 + b^2 = 25;
\]

Высказывания с кванторами:
\( \exists a, \exists b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \) — истинно;
\( \forall a, \exists b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \) — ложно;
\( \exists a, \forall b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \) — ложно;
\( \forall a, \forall b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \) — ложно;

Ответ: 4 способа.

Задана задача: Как с помощью кванторов существования и единственности из предиката \( a^2 + b^2 = 25 \) сделать высказывание? Сколькими способами можно это сделать? Сформулируйте эти высказывания.

Задан предикат:

\( a^2 + b^2 = 25 \)

Шаг 1: Рассмотрим кванторы существования и единственности, которые можно использовать для преобразования предиката в высказывания. Предикат \( a^2 + b^2 = 25 \) может быть преобразован в несколько различных высказываний с использованием различных комбинаций кванторов существования (\( \exists \)) и универсальности (\( \forall \)). Рассмотрим все возможные варианты:

• Первое высказывание: \( \exists a, \exists b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \)

Это высказывание означает, что существует хотя бы одно значение для \( a \) и хотя бы одно значение для \( b \), при которых выполняется равенство \( a^2 + b^2 = 25 \). Это утверждение истинно, потому что для любого действительного числа существует хотя бы одна пара \( (a, b) \), которая удовлетворяет этому уравнению, например, \( a = 0 \), \( b = 5 \) или \( a = 3 \), \( b = 4 \), и так далее.

• Второе высказывание: \( \forall a, \exists b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \)

Это высказывание утверждает, что для любого значения \( a \) существует значение \( b \), которое удовлетворяет уравнению \( a^2 + b^2 = 25 \). Однако это утверждение ложно. Например, если \( a = 10 \), то нет такого значения \( b \), при котором выполняется \( a^2 + b^2 = 25 \), так как \( 10^2 + b^2 = 25 \) не имеет решений для \( b \) в области действительных чисел. Следовательно, это высказывание ложно.

• Третье высказывание: \( \exists a, \forall b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \)

Это высказывание утверждает, что существует хотя бы одно значение \( a \), при котором для всех значений \( b \) выполняется уравнение \( a^2 + b^2 = 25 \). Это высказывание также ложно, потому что для любого фиксированного \( a \) не существует такого \( b \), который удовлетворяет этому уравнению для всех значений \( b \). Например, для \( a = 0 \) существует только одно значение для \( b \), равное 5 (или -5), но не все значения \( b \) могут удовлетворять уравнению.

• Четвертое высказывание: \( \forall a, \forall b \, | \, a^2 + b^2 = 25 \)

Это высказывание утверждает, что для всех значений \( a \) и для всех значений \( b \) выполняется уравнение \( a^2 + b^2 = 25 \). Это также ложно, так как уравнение \( a^2 + b^2 = 25 \) не выполняется для всех значений \( a \) и \( b \). Например, для \( a = 1 \) и \( b = 1 \), уравнение \( 1^2 + 1^2 = 2 \) не равно 25, что делает это высказывание ложным.

Шаг 2: Мы рассмотрели 4 возможных высказывания с кванторами. Таким образом, существует 4 различных способа сформулировать высказывания с использованием кванторов из предиката \( a^2 + b^2 = 25 \), и только одно из них истинно.

Ответ: 4 способа.