ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 991 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задайте формулой функцию, обратную данной:

a) \( y = 3x — 5 \), где \( -3 \leq x \leq 2 \);

b) \( y = -\sqrt{x — 3} \).

Найти обратную функцию:

a) \( y = 3x — 5, \quad -3 \leq x \leq 2 \);

Множество значений:
\[
y(-3) = 3(-3) — 5 = -9 — 5 = -14;
\]

\[
y(2) = 3(2) — 5 = 6 — 5 = 1;
\]

Обратная функция:
\[
x = 3y — 5, \quad 3y = x + 5, \quad y = \frac{x + 5}{3};
\]

Ответ: \( y = \frac{x + 5}{3}, \quad -14 \leq x \leq 1 \).

b) \( y = -\sqrt{x — 3} \);

Множество значений:
\[
\sqrt{x — 3} \geq 0, \quad y \leq 0;
\]

Обратная функция:
\[
x = -\sqrt{y — 3};
\]

\[
x^2 = y — 3, \quad y = x^2 + 3;
\]

Ответ: \( y = x^2 + 3, \quad x \leq 0 \).

Найти обратную функцию:

а) \( y = 3x — 5, \quad -3 \leq x \leq 2 \)

Шаг 1: Найдем множество значений функции. Подставим \( x = -3 \) и \( x = 2 \) в исходное уравнение:

\( y(-3) = 3(-3) — 5 = -9 — 5 = -14; \)

\( y(2) = 3(2) — 5 = 6 — 5 = 1; \)

Шаг 2: Теперь найдем обратную функцию. Для этого выразим \( x \) через \( y \):

\( y = 3x — 5 \);

Перепишем уравнение: \( x = 3y — 5 \);

Теперь изолируем \( y \):

\( 3y = x + 5, \quad y = \frac{x + 5}{3}; \)

Шаг 3: Множество значений функции будет \( -14 \leq x \leq 1 \), так как \( y(-3) = -14 \) и \( y(2) = 1 \). Обратная функция:

Ответ: \( y = \frac{x + 5}{3}, \quad -14 \leq x \leq 1 \).

б) \( y = -\sqrt{x — 3} \)

Шаг 1: Найдем множество значений функции. Так как \( \sqrt{x — 3} \geq 0 \), следовательно, \( y \leq 0 \);

Шаг 2: Теперь найдем обратную функцию. Исходная функция: \( y = -\sqrt{x — 3} \);

Перепишем уравнение: \( x = -\sqrt{y — 3} \);

Возводим обе стороны в квадрат:

\( x^2 = y — 3 \);

Теперь изолируем \( y \):

\( y = x^2 + 3; \)

Шаг 3: Множество значений для обратной функции \( x \leq 0 \), так как \( y \leq 0 \) для исходной функции.

Ответ: \( y = x^2 + 3, \quad x \leq 0 \).