ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 978 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что неравенство \(\sqrt{x — 7} < 2 — x\) не имеет решений.

Решите неравенство.

Не имеет решений:
\[
\sqrt{x — 7} < 2 — x;
\]

Область определения:
\[
x — 7 \geq 0, \quad x \geq 7;
\]

\[
2 — x > 0, \quad x < 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача:

Докажите, что неравенство \( \sqrt{x — 7} < 2 — x \) не имеет решений.

Решение:

1. Рассмотрим область определения данного неравенства:

Для выражения \( \sqrt{x — 7} \), чтобы оно имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\( x — 7 \geq 0 \), отсюда \( x \geq 7 \).

Таким образом, область определения функции \( \sqrt{x — 7} \) — это \( x \geq 7 \).

2. Теперь рассмотрим правую часть неравенства \( 2 — x \). Чтобы правая часть неравенства была положительной, необходимо, чтобы:

\( 2 — x > 0 \), отсюда \( x < 2 \).

3. Таким образом, мы имеем два условия:

— \( x \geq 7 \) (для того чтобы корень был определен);

— \( x < 2 \) (для того чтобы правая часть неравенства была положительной).

4. Мы видим, что оба эти условия не могут выполняться одновременно. Из первого условия \( x \geq 7 \) следует, что \( x \) должно быть больше или равно 7, а из второго условия \( x < 2 \) следует, что \( x \) должно быть меньше 2. Эти условия противоречат друг другу, следовательно, не существует значений \( x \), которые бы удовлетворяли данному неравенству.

Ответ: Неравенство \( \sqrt{x — 7} < 2 — x \) не имеет решений.